Abalise as afirmações abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
Temos \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L se, e somente se, \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=L.

Passo 1

O enunciado apresenta a seguinte afirmação que devo avaliar como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar:
“Afirmativa: temos \lim_{x\to a} f(x)=L se, e somente se, \lim_{x\to a^-} f(x)=L e \lim_{x\to a^+} f(x)=L.”
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Há uma função f e um ponto a.
  • A afirmação relaciona o limite bilateral \lim_{x\to a} f(x) com os limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x).
    O que é pedido: decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente.

Passo 2

Definição precisa do limite bilateral. Vou escrever a definição em termos de \varepsilon- \delta porque é a forma mais clara e rigorosa.
Definição: dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=L se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando cada símbolo:
  • \varepsilon>0 é a tolerância no valor de f(x) em torno de L.
  • \delta>0 é a tolerância na abscissa x em torno de a.
  • A condição 0<|x-a|<\delta significa que estamos olhando pontos x distintos de a mas suficientemente próximos de a.
  • A conclusão |f(x)-L|<\varepsilon diz que os valores de f(x) ficam dentro do intervalo (L-\varepsilon,L+\varepsilon).

Passo 3

Definição dos limites laterais (um pouco mais cuidadosa).
Definição de limite pela esquerda: \lim_{x\to a^-} f(x)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta_1>0 tal que, sempre que a-\delta_1<x<a, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
Definição de limite pela direita: \lim_{x\to a^+} f(x)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta_2>0 tal que, sempre que a<x<a+\delta_2, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
Observação: nas definições laterais não usamos 0<|x-a|<\delta porque especificamos o lado (esquerda ou direita) por desigualdades direcionais.

Passo 4

Prova da implicação "se \lim_{x\to a} f(x)=L então \lim_{x\to a^-} f(x)=L e \lim_{x\to a^+} f(x)=L".
  • Suponha \lim_{x\to a} f(x)=L. Pelo significado \varepsilon- \delta, para cada \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, tem |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Agora pegue pontos x com a-\delta<x<a. Para esses x temos 0<|x-a|<\delta, então necessariamente |f(x)-L|<\varepsilon. Isso mostra que os valores à esquerda de a ficam dentro de \varepsilon de L quando x está suficientemente perto de a pela esquerda; portanto \lim_{x\to a^-} f(x)=L.
  • O mesmo raciocínio para pontos x com a<x<a+\delta mostra \lim_{x\to a^+} f(x)=L.
  • Conclusão: a existência do limite bilateral implica a existência e igualdade dos dois limites laterais.

Passo 5

Prova da implicação "se \lim_{x\to a^-} f(x)=L e \lim_{x\to a^+} f(x)=L então \lim_{x\to a} f(x)=L".
  • Suponha que as duas limites laterais existem e valem L.
  • Pela definição, para o mesmo \varepsilon>0 existem \delta_1>0 e \delta_2>0 tais que:
    • se a-\delta_1<x<a então |f(x)-L|<\varepsilon;
    • se a<x<a+\delta_2 então |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Então \delta>0 e para qualquer x com 0<|x-a|<\delta necessariamente ou a-\delta<x<a ou a<x<a+\delta.
  • Em ambos os casos, pela escolha de \delta, tem |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Portanto, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (escolhida como acima) tal que 0<|x-a|<\delta implica |f(x)-L|<\varepsilon. Isso é exatamente \lim_{x\to a} f(x)=L.
  • Conclusão: igualdade dos limites laterais implica o limite bilateral.

Passo 6

Exemplos para fixar a intuição (rápido e prático).
  • Exemplo positivo (limite bilateral existe):
    Defina [f(x)=x). Em a=0 temos \lim_{x\to 0} f(x)=0. As duas limites laterais também são 0. Aqui tudo coincide.
  • Exemplo onde não existe limite bilateral porque os laterais diferem:
    Considere a função degrau
    f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1, & x\ge 0. \end{cases}
    Para a=0\] temos \(\lim_{x\to 0^-} f(x)=0 e \lim_{x\to 0^+} f(x)=1. Como os limites laterais são diferentes, não existe \lim_{x\to 0} f(x). Isso ilustra a direção contrária: se os laterais não coincidirem, o limite bilateral não existe.]

Passo 7

Conclusão final e motivação curta: a afirmação é verdadeira. A prova é direta com as definições \varepsilon- \delta: o limite bilateral exige controle de ambos os lados ao mesmo tempo, e ter controle separado em cada lado (com a mesma L) é suficiente para obter controle bilateral juntando as deltas. Não se intimide com o formalismo \varepsilon- \delta: é só uma maneira precisa de dizer "valores de f(x) ficam perto de L quando x fica perto de a". Você já entendeu o porquê — ótimo trabalho!

Resposta

V

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