Abalise as afirmações abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
Temos
se, e somente se,
e
.
Temos
Passo 1
O enunciado apresenta a seguinte afirmação que devo avaliar como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar:
“Afirmativa: temos
se, e somente se,
e
.”
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Há uma função
e um ponto . - A afirmação relaciona o limite bilateral
com os limites laterais e .
O que é pedido: decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente.
Passo 2
Definição precisa do limite bilateral. Vou escrever a definição em termos de
-
porque é a forma mais clara e rigorosa.
Definição: dizemos que
se, e somente se, para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
.
Explicando cada símbolo:
-
é a tolerância no valor de em torno de . -
é a tolerância na abscissa em torno de . - A condição
significa que estamos olhando pontos distintos de mas suficientemente próximos de . - A conclusão
diz que os valores de ficam dentro do intervalo .
Passo 3
Definição dos limites laterais (um pouco mais cuidadosa).
Definição de limite pela esquerda:
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
.
Definição de limite pela direita:
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
.
Observação: nas definições laterais não usamos
porque especificamos o lado (esquerda ou direita) por desigualdades direcionais.
Passo 4
Prova da implicação "se
então
e
".
- Suponha
. Pelo significado - , para cada existe tal que, sempre que , tem . - Agora pegue pontos
com . Para esses temos , então necessariamente . Isso mostra que os valores à esquerda de ficam dentro de de quando está suficientemente perto de pela esquerda; portanto . - O mesmo raciocínio para pontos
com mostra . - Conclusão: a existência do limite bilateral implica a existência e igualdade dos dois limites laterais.
Passo 5
Prova da implicação "se
e
então
".
- Suponha que as duas limites laterais existem e valem
. - Pela definição, para o mesmo
existem e tais que: - se
então ; - se
então .
- se
- Tome
. Então e para qualquer com necessariamente ou ou . - Em ambos os casos, pela escolha de
, tem . - Portanto, para todo
existe (escolhida como acima) tal que implica . Isso é exatamente . - Conclusão: igualdade dos limites laterais implica o limite bilateral.
Passo 6
Exemplos para fixar a intuição (rápido e prático).
-
Exemplo positivo (limite bilateral existe):Defina [f(x)=x). Em
temos . As duas limites laterais também são . Aqui tudo coincide. -
Exemplo onde não existe limite bilateral porque os laterais diferem:
Considere a função degrauPara e. Como os limites laterais são diferentes, não existe . Isso ilustra a direção contrária: se os laterais não coincidirem, o limite bilateral não existe.]
Passo 7
Conclusão final e motivação curta: a afirmação é verdadeira. A prova é direta com as definições
-
: o limite bilateral exige controle de ambos os lados ao mesmo tempo, e ter controle separado em cada lado (com a mesma
) é suficiente para obter controle bilateral juntando as deltas. Não se intimide com o formalismo
-
: é só uma maneira precisa de dizer "valores de
ficam perto de
quando
fica perto de
". Você já entendeu o porquê — ótimo trabalho!
Resposta
V