Uma abelha de massa 1 g pousa na extremidade de um galho que começa a oscilar para cima e para baixo com período de 1 s . Considere o galho como uma mola sem massa e calcule a sua constante de força.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a constante de força do galho tratado como uma mola sem massa quando uma abelha pousa na extremidade. Informações dadas:
Passo 2
Converter a massa para o sistema SI (quilograma), porque as fórmulas usam SI:
Passo 3
Modelo físico e equações básicas — explicando passo a passo:
A mola obedece à Lei de Hooke, que diz que a força elástica é proporcional ao deslocamento:
A mola obedece à Lei de Hooke, que diz que a força elástica é proporcional ao deslocamento:
onde
é a constante de força (o que queremos),
é o deslocamento e o sinal negativo indica que a força é restauradora (oposta ao deslocamento).
Aplicando a Segunda Lei de Newton à massa
presa na mola temos:
onde
é a aceleração (derivada segunda do deslocamento em relação ao tempo). Isso leva à equação diferencial do movimento:
Passo 4
Solução e relação período-constante — explicando por que:
A solução dessa equação é um movimento harmônico simples do tipo
A solução dessa equação é um movimento harmônico simples do tipo
onde
é a amplitude,
a fase inicial e
a frequência angular. Substituindo na equação diferencial obtém-se a relação
A frequência angular
está relacionada ao período
por
Aqui:
é o tempo que uma oscilação completa demora e
mede quantos radianos por segundo o movimento percorre.
Passo 5
Isolar
em termos de
e
— passos algébricos claros:
Da relação e
segue
Da relação
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Essa é a fórmula que usamos para encontrar
a partir do período e da massa.
Passo 6
Substituir os valores e calcular passo a passo:
Calculemos numericamente:
, então
e portanto
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
Passo 7
Checagem rápida e comentário final (curto e motivador):
- Unidade faz sentido:
em . - O valor é pequeno, o que significa que o galho é bem “mole” — faz sentido porque só uma abelha provoca um período de
. - Bom trabalho! Já dominou a ideia: a relação
é a chave em problemas assim.