Uma abelha de massa 1 g pousa na extremidade de um galho que começa a oscilar para cima e para baixo com período de 1 s . Considere o galho como uma mola sem massa e calcule a sua constante de força.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a constante de força do galho tratado como uma mola sem massa quando uma abelha pousa na extremidade. Informações dadas:
\text{massa da abelha } m = 1\\ \text{g}
\text{período das oscilações } T = 1\\ \text{s}íçõ
\text{o galho é considerado uma mola sem massa (modelo mola-massa)}é

Passo 2

Converter a massa para o sistema SI (quilograma), porque as fórmulas usam SI:
m = 1\\ \text{g} = 0,001\\ \text{kg}.

Passo 3

Modelo físico e equações básicas — explicando passo a passo:
A mola obedece à Lei de Hooke, que diz que a força elástica é proporcional ao deslocamento:
F = -k x,
onde \,k é a constante de força (o que queremos), x é o deslocamento e o sinal negativo indica que a força é restauradora (oposta ao deslocamento).
Aplicando a Segunda Lei de Newton à massa m presa na mola temos:
m a = m \ddot{x} = -k x,
onde \ddot{x} é a aceleração (derivada segunda do deslocamento em relação ao tempo). Isso leva à equação diferencial do movimento:
m\ddot{x} + k x = 0.

Passo 4

Solução e relação período-constante — explicando por que:
A solução dessa equação é um movimento harmônico simples do tipo
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude, \varphi a fase inicial e \omega a frequência angular. Substituindo na equação diferencial obtém-se a relação
\omega^2=\frac{k}{m}.
A frequência angular \omega está relacionada ao período T por
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Aqui: T é o tempo que uma oscilação completa demora e \omega mede quantos radianos por segundo o movimento percorre.

Passo 5

Isolar k em termos de T e m — passos algébricos claros:
Da relação \omega^2=k/m e \omega=2\pi/T segue
\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2=\frac{k}{m}.
Multiplicando ambos os lados por m obtemos
k = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2 m}{T^2}.
Essa é a fórmula que usamos para encontrar k a partir do período e da massa.

Passo 6

Substituir os valores e calcular passo a passo:
k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0,001}{1^2}.
Calculemos numericamente: \pi^2 \approx 9,8696, então
4\pi^2 \approx 39,4784,
e portanto
k \approx 0,001 \times 39,4784 = 0,0394784\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
k \approx 0,0395\\ \mathrm{N/m}.

Passo 7

Checagem rápida e comentário final (curto e motivador):
  • Unidade faz sentido: k em \mathrm{N/m}.
  • O valor é pequeno, o que significa que o galho é bem “mole” — faz sentido porque só uma abelha provoca um período de 1\\ \text{s}.
  • Bom trabalho! Já dominou a ideia: a relação T=2\pi\sqrt{m/k} é a chave em problemas assim.

Resposta

k \approx 0,0395\\ \mathrm{N/m}

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