Os poros de uma zeólita são tão pequenos que os efeitos quantomecânicos na distribuição dos átomos e moléculas dentro deles podem ser significativos. Calcule a localização numa caixa de comprimento L para qual a probabilidade de uma partícula ser encontrada é 50 \% de sua probabilidade máxima, quando n=1.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a localização numa caixa de comprimento L para a qual a probabilidade de uma partícula ser encontrada é 50\% de sua probabilidade máxima, quando n=1.”\n
Informações relevantes que temos no enunciado:
\,\, - A partícula está numa caixa unidimensional (poço infinito) de comprimento L.\n
\,\, - Estamos na situação do estado estacionário com número quântico n=1 (estado fundamental).\n
\,\, - Queremos os(s) ponto(s) x no intervalo [0,L] onde a densidade de probabilidade é metade do seu valor máximo.

Passo 2

Entender a forma da função de onda no poço infinito e por que ela tem essa forma. Para um poço infinito unidimensional com paredes em x=0 e x=L, as soluções estacionárias (autoestados) são senos que respeitam as condições de contorno \psi(0)=0 e \psi(L)=0. A forma geral para o nível n é
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Aqui \psi_n(x) é a função de onda (amplitude), o fator \sqrt{2/L} garante normalização (ou seja, a probabilidade total em [0,L] é 1), e \frac{n\pi x}{L} dá as “oscilações” internas. Para n=1 temos especificamente
\psi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right).

Passo 3

Converter a função de onda em densidade de probabilidade e achar seu valor máximo. A densidade de probabilidade é |\psi(x)|^2. Para n=1:
|\psi_1(x)|^2=\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right)^2=\frac{2}{L}\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{L}\right).
O máximo dessa função ocorre quando \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)=1, porque o prefator \frac{2}{L} é constante. Assim o valor máximo da densidade de probabilidade é
\left(|\psi_1(x)|^2\right)_{\max}=\frac{2}{L}\cdot 1=\frac{2}{L}.
Esse máximo acontece no centro do poço, em x=\frac{L}{2}, pois \sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)=1 quando \frac{\pi x}{L}=\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Aplicar a condição “ 50\% da probabilidade máxima”. Queremos x tal que
|\psi_1(x)|^2=\tfrac{1}{2}\left(|\psi_1(x)|^2\right)_{\max}.
Substituindo os valores:
\frac{2}{L}\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{L}.
O fator \frac{2}{L} cancela em ambos os lados, restando
\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)=\frac{1}{2}.
Isso é uma equação trigonométrica simples. Tomando raiz (e lembrando que \sin^2\theta=\tfrac{1}{2} implica \sin\theta=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}), obtemos as soluções para o ângulo \theta=\frac{\pi x}{L}:
\theta=\frac{\pi}{4}\quad\text{ou}\quad\theta=\frac{3\pi}{4}\quad(\text{no intervalo }0<\theta<\pi).
Aqui eu usei que, como x\in[0,L], então \theta=\frac{\pi x}{L}\in[0,\pi]; nesse intervalo as soluções relevantes são \pi/4 e 3\pi/4.

Passo 5

Converter as soluções em x. Usando \theta=\frac{\pi x}{L} e isolando x:
x=\frac{L}{\pi}\theta.
Para \theta=\frac{\pi}{4}:
x=\frac{L}{\pi}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{L}{4}.
Para \theta=\frac{3\pi}{4}:
x=\frac{L}{\pi}\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac{3L}{4}.
Portanto existem duas posições simétricas em relação ao centro onde a densidade de probabilidade é metade do máximo: x=\frac{L}{4} e x=\frac{3L}{4}.

Resposta

\displaystyle x=\frac{L}{4}\n
\displaystyle x=\frac{3L}{4}

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