Os poros de uma zeólita são tão pequenos que os efeitos quantomecânicos na distribuição dos átomos e moléculas dentro deles podem ser significativos. Calcule a localização numa caixa de comprimento L para qual a probabilidade de uma partícula ser encontrada é
de sua probabilidade máxima, quando
.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule a localização numa caixa de comprimento
para a qual a probabilidade de uma partícula ser encontrada é
de sua probabilidade máxima, quando
.”\n
Informações relevantes que temos no enunciado:
- A partícula está numa caixa unidimensional (poço infinito) de comprimento
.\n
- Estamos na situação do estado estacionário com número quântico
(estado fundamental).\n
- Queremos os(s) ponto(s)
no intervalo
onde a densidade de probabilidade é metade do seu valor máximo.
Informações relevantes que temos no enunciado:
Passo 2
Entender a forma da função de onda no poço infinito e por que ela tem essa forma. Para um poço infinito unidimensional com paredes em
e
, as soluções estacionárias (autoestados) são senos que respeitam as condições de contorno
e
. A forma geral para o nível
é
Aqui
é a função de onda (amplitude), o fator
garante normalização (ou seja, a probabilidade total em
é
), e
dá as “oscilações” internas. Para
temos especificamente
Passo 3
Converter a função de onda em densidade de probabilidade e achar seu valor máximo. A densidade de probabilidade é
. Para
:
O máximo dessa função ocorre quando
, porque o prefator
é constante. Assim o valor máximo da densidade de probabilidade é
Esse máximo acontece no centro do poço, em
, pois
quando
.
Passo 4
Aplicar a condição “
da probabilidade máxima”. Queremos
tal que
Substituindo os valores:
O fator
cancela em ambos os lados, restando
Isso é uma equação trigonométrica simples. Tomando raiz (e lembrando que
implica
), obtemos as soluções para o ângulo
:
Aqui eu usei que, como
, então
; nesse intervalo as soluções relevantes são
e
.
Passo 5
Converter as soluções em
. Usando
e isolando
:
Para
:
Para
:
Portanto existem duas posições simétricas em relação ao centro onde a densidade de probabilidade é metade do máximo:
e
.