Uma certa função de onda é nula em todos os lugares, exceto entre \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=\mathrm{L}, onde tem um valor constante K. Normalize a função de onda.

Passo 1

O enunciado dá uma função de onda \psi(x)\) que vale uma constante \(K\) somente no intervalo entre \(\,x=0\) e \(\,x=L\), e é nula em todo o resto. As informações relevantes são: \[\psi(x)=\begin{cases} K, & 0<x<L,\\[4pt] 0, & \text{para } x\le 0 \text{ ou } x\ge L. \end{cases}
A pergunta é: determinar (normalizar) o valor da constante (K] de modo que a função de onda esteja normalizada.]

Passo 2

O que significa “normalizar” uma função de onda?Significa impor que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Em linguagem matemática isso é:
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Aqui |\psi(x)|^{2} é o módulo quadrado da função de onda em x. Se K for complexo, lembramos que o módulo quadrado |K|^{2} é dado por K K^{*}, onde K^{*} é o conjugado complexo de K. Se K for real, |K|^{2}=K^{2}.

Passo 3

Agora substituímos a forma de \psi(x) dentro da integral de normalização. Como \psi(x)=0 fora do intervalo (0,L), a integral em todo o eixo real reduz-se ao intervalo (0,L). Escrevo isso explicitamente:
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = \int_{0}^{L} |K|^{2}\,dx.
Como |K|^{2} não depende de x, podemos tirá-lo da integral:
\int_{0}^{L} |K|^{2}\,dx = |K|^{2}\int_{0}^{L} dx = |K|^{2}\,L.

Passo 4

Impondo a condição de normalização |K|^{2}\,L=1, obtemos:
|K|^{2}=\frac{1}{L}.
Tomando a raiz positiva (módulo é não-negativo),
|K|=\frac{1}{\sqrt{L}}.
Isso significa que o tamanho (módulo) de K é \tfrac{1}{\sqrt{L}}. Se quisermos o K explícito, podemos permitir uma fase complexa arbitrária e^{i\theta} (que não altera |K|^{2}). Portanto a forma geral de K é
K=\frac{e^{i\theta}}{\sqrt{L}},
onde \theta é um ângulo real. Na prática, normalmente escolhemos a fase igual a zero (escolha de conveniência), ficando K=\tfrac{1}{\sqrt{L}}.

Passo 5

Vamos checar rapidamente substituindo K=\tfrac{1}{\sqrt{L}} de volta na integral:
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = \int_{0}^{L} \left|\frac{1}{\sqrt{L}}\right|^{2}dx = \int_{0}^{L} \frac{1}{L}\,dx = \frac{1}{L}\cdot L = 1.
Confere — está normalizado. Observação: incluir ou não os pontos x=0 e x=L não altera a integral (são conjuntos de medida zero).

Resposta

K=\dfrac{1}{\sqrt{L}}
\text{Geralmente: }K=\dfrac{e^{i\theta}}{\sqrt{L}}\text{, com }\theta\in\mathbb{R}.

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