Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua colmeia nos seguintes grupos para exploração ambiental: um composto de 288 batedoras e outro de 360 engenheiras. Sendo você a abelha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas de um mesmo e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas em:
a) 8 grupos de 81 abelhas
b) 9 grupos de 72 abelhas
c) 24 grupos de 27 abelhas
d) 2 grupos de 324 abelhas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma abelha rainha que dividiu suas abelhas em dois grupos: 288 batedoras e 360 engenheiras. Ela quer reorganizar esses grupos em equipes onde cada equipe tenha o mesmo número máximo de abelhas possível. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o maior número que divide exatamente tanto 288 quanto 360. Isso envolve usar o conceito de Máximo Divisor Comum (MDC).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o MDC de 288 e 360. O MDC é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Para isso, vamos fatorar os dois números.
Começando com 288:
288 = 2 times 144
144 = 2 times 72
72 = 2 times 36
36 = 2 times 18
18 = 2 times 9
9 = 3 times 3
Então, a fatoração de 288 é:
288 = 2^5 times 3^2
Agora, fatorando 360:
360 = 2 times 180
180 = 2 times 90
90 = 2 times 45
45 = 3 times 15
15 = 3 times 5
Então, a fatoração de 360 é:
360 = 2^3 times 3^2 times 5

Passo 3

Agora, para encontrar o MDC, pegamos os menores expoentes de cada fator comum. Olhando para as fatorações:
  • Para o 2: o menor expoente é 3.
  • Para o 3: o menor expoente é 2.
  • O 5 não é comum aos dois.
Então, o MDC é:
MDC = 2^3 times 3^2 = 8 times 9 = 72

Passo 4

Com o MDC encontrado, sabemos que o maior número de abelhas por equipe será 72. Agora, vamos verificar quantas equipes teremos no total.
A soma das abelhas é:
288 + 360 = 648
Dividindo pelo número de abelhas por equipe:
64872 = 9

Resposta

A redistribuição correta é 9 grupos de 72 abelhas, ou seja, a opção b) 9 grupos de 72 abelhas.

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