- Um aberto
é dito conexo quando não existem abertos não vazios
tais que
e
. Demonstre que:
(a) Se
é um aberto conexo, então quaisquer dois pontos
podem ser ligados por uma curva poligonal
.
(b) No item anterior, a poligonal pode ser escolhida como sendo uma reunião de segmentos de reta, em que cada um deles é paralelo a um dos eixos coordenados.
(c) Se
é um aberto conexo e
é uma função diferenciável e tal que
é nulo em
, então
é constante em
.
(d) Se
é um aberto conexo e
é holomorfa e tal que
, para todo
, então
é constante.
(a) Se
(b) No item anterior, a poligonal pode ser escolhida como sendo uma reunião de segmentos de reta, em que cada um deles é paralelo a um dos eixos coordenados.
(c) Se
(d) Se
Passo 1
O enunciado trata de um aberto conexo
(ou seja, um subconjunto aberto de
que não se decompõe em dois abertos disjuntos não vazios) e pede quatro itens a demonstrar:
(a) existe sempre uma curva poligonal em ligando dois pontos quaisquer
,
(b) essa poligonal pode ser formada por segmentos paralelos aos eixos coordenados,
(c) se uma função real tem gradiente zero em
então
é constante,
(d) se é holomorfa e
em todo
, então
é constante.
Vamos usar o fato de que abertos conexos em são arcoconexos (path–connected) e, em seguida, integrar o gradiente ou aplicar as equações de Cauchy–Riemann.
(a) existe sempre uma curva poligonal em
(b) essa poligonal pode ser formada por segmentos paralelos aos eixos coordenados,
(c) se uma função real
(d) se
Vamos usar o fato de que abertos conexos em
Passo 2
Definimos
Claramente
, logo
.
- Se
, como é aberto existe um disco . Para qualquer podemos juntar a poligonal de a com o segmento reto de a , ficando toda dentro de . Logo é aberto. - Se
, seja . Se existisse , poderíamos unir a por uma poligonal em (pois ) e em seguida o segmento , construindo uma poligonal de a , contradizendo . Logo e é aberto.
Assimé não vazio, aberto e fechado em . Pela conexão de segue . Concluímos que todo pode ser ligado a por uma poligonal contida em . Isso resolve (a).
Passo 3
Para (b), note que no argumento acima, ao ligar
a
num disco
, basta usar dois segmentos: primeiro de
a
(horizontal) e depois de
a
(vertical). Como
temos
e
, cada um desses segmentos fica dentro de
. Repetindo em cada passo, a poligonal inteira pode ser escolhida como união de segmentos paralelos aos eixos
ou
. Isso prova (b).
Passo 4
Agora (c). Tomemos
e seja
a poligonal dada em (b), orientada de
a
. Como
em
, em cada segmento horizontal temos
e em cada segmento vertical
. Somando sobre todos os segmentos, o total de variação de
de
a
é zero, ou seja
Como
eram arbitrários,
é constante em
.
Passo 5
Por fim (d). Se
é holomorfa e
em
, pelas fórmulas de Cauchy–Riemann temos
e também
Com
e
segue
e
, isto é,
e
. Pelas conclusões do item (c),
e
são constantes em
. Logo
é constante.
Resposta
Demonstra-se (a) pela construção de
aberto e fechado, (b) usando segmentos horizontais e verticais em discos, (c) integrando
ao longo da poligonal, e (d) aplicando Cauchy–Riemann e o item (c), chegando à constância de
.