1. Um aberto \Omega \subset \mathbb{C} é dito conexo quando não existem abertos não vazios A, B \subset \mathbb{C} tais que A \cap B=\emptyset e \Omega=A \cup B. Demonstre que:
    (a) Se \Omega é um aberto conexo, então quaisquer dois pontos p, q \in \Omega podem ser ligados por uma curva poligonal \gamma, \operatorname{com} \gamma \subset \Omega.
    (b) No item anterior, a poligonal pode ser escolhida como sendo uma reunião de segmentos de reta, em que cada um deles é paralelo a um dos eixos coordenados.
    (c) Se \Omega é um aberto conexo e u: \Omega \rightarrow \mathbb{R} é uma função diferenciável e tal que \nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right) é nulo em \Omega, então u é constante em \Omega.
    (d) Se \Omega é um aberto conexo e f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} é holomorfa e tal que f^{\prime}(z)=0, para todo z \in \Omega, então f é constante.

Passo 1

O enunciado trata de um aberto conexo \Omega\subset\mathbb{C} (ou seja, um subconjunto aberto de \mathbb{R}^2 que não se decompõe em dois abertos disjuntos não vazios) e pede quatro itens a demonstrar:
(a) existe sempre uma curva poligonal em \Omega ligando dois pontos quaisquer p,q\in\Omega,
(b) essa poligonal pode ser formada por segmentos paralelos aos eixos coordenados,
(c) se uma função real u:\Omega\to\mathbb{R} tem gradiente zero em \Omega então u é constante,
(d) se f:\Omega\to\mathbb{C} é holomorfa e f'(z)=0 em todo \Omega, então f é constante.
Vamos usar o fato de que abertos conexos em \mathbb{R}^n são arcoconexos (path–connected) e, em seguida, integrar o gradiente ou aplicar as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Definimos
S = \{\,z\in\Omega \mid \text{existe poligonal em \(\Omega\) que liga \(p\) a \(z\)}\}.
Claramente p\in S, logo S\neq\emptyset.
  1. Se z\in S, como \Omega é aberto existe um disco B_r(z)\subset\Omega. Para qualquer w\in B_r(z) podemos juntar a poligonal de p a z com o segmento reto de z a w, ficando toda dentro de B_r(z). Logo S é aberto.
  2. Se z\notin S, seja B_r(z)\subset\Omega. Se existisse w\in B_r(z)\cap S, poderíamos unir p a w por uma poligonal em \Omega (pois w\in S) e em seguida o segmento w\to z\subset B_r(z), construindo uma poligonal de p a z, contradizendo z\notin S. Logo B_r(z)\cap S=\emptyset e \Omega\setminus S é aberto.
    Assim S é não vazio, aberto e fechado em \Omega. Pela conexão de \Omega segue S=\Omega. Concluímos que todo q\in\Omega pode ser ligado a p por uma poligonal contida em \Omega. Isso resolve (a).

Passo 3

Para (b), note que no argumento acima, ao ligar z a w num disco B_r(z), basta usar dois segmentos: primeiro de z=(x_z,y_z) a (x_w,y_z) (horizontal) e depois de (x_w,y_z) a w=(x_w,y_w) (vertical). Como \lvert w-z\rvert<r temos \lvert x_w-x_z\rvert<r e \lvert y_w-y_z\rvert<r, cada um desses segmentos fica dentro de B_r(z). Repetindo em cada passo, a poligonal inteira pode ser escolhida como união de segmentos paralelos aos eixos x ou y. Isso prova (b).

Passo 4

Agora (c). Tomemos p,q\in\Omega e seja \gamma a poligonal dada em (b), orientada de p a q. Como \nabla u=0 em \Omega, em cada segmento horizontal temos \mathrm{d}u = u_x\,\mathrm{d}x=0 e em cada segmento vertical \mathrm{d}u = u_y\,\mathrm{d}y=0. Somando sobre todos os segmentos, o total de variação de u de p a q é zero, ou seja
u(q)-u(p)=0.
Como p,q eram arbitrários, u é constante em \Omega.

Passo 5

Por fim (d). Se f=u+iv é holomorfa e f'(z)=0 em \Omega, pelas fórmulas de Cauchy–Riemann temos
f'(z) = u_x + i\,v_x = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_x=0,\;v_x=0,
e também
u_x = v_y,\quad u_y = -v_x.
Com u_x=0 e v_x=0 segue v_y=0 e u_y=0, isto é, \nabla u=0 e \nabla v=0. Pelas conclusões do item (c), u e v são constantes em \Omega. Logo f é constante.

Resposta

Demonstra-se (a) pela construção de S aberto e fechado, (b) usando segmentos horizontais e verticais em discos, (c) integrando \nabla u=0 ao longo da poligonal, e (d) aplicando Cauchy–Riemann e o item (c), chegando à constância de f.

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