Prove que, para todo \theta \in \mathbb{R}, valem as identidades
\left\{\begin{aligned} \cos 3 \theta & =4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta \\\ \sin 3 \theta & =-4 \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta \end{aligned}\right.
Conclua da primeira identidade que x=\cos 20^{\circ} é raiz da equação 8 x^{3}-6 x-1= 0 e, consequentemente, é um número irracional.

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar as identidades de triplo ângulo
\cos 3\theta =4\cos^3\theta -3\cos\theta, \quad \sin 3\theta = -4\sin^3\theta +3\sin\theta
e, a partir da primeira, mostrar que x=\cos 20^\circ satisfaz a equação
8x^3 -6x -1 = 0
e, portanto, é irracional. O conteúdo utilizado será a fórmula de adição de ângulos em trigonometria e o Teorema das Raízes Racionais para polinômios.

Passo 2

Para derivar \cos 3\theta usamos a fórmula de soma de cossenos:
\cos(2\theta + \theta) = \cos 2\theta\;\cos \theta \;-\;\sin 2\theta\;\sin \theta.
Sabemos ainda que \cos 2\theta = 2\cos^2\theta -1
e \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta.
Substituindo essas expressões:
\cos 3\theta =(2\cos^2\theta -1)\cos\theta \;-\;(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta.
Desenvolvendo e usando \sin^2\theta =1-\cos^2\theta, obtemos
\cos 3\theta = 4\cos^3\theta -3\cos\theta.

Passo 3

Para \sin 3\theta aplicamos a fórmula de soma de senos:
\sin(2\theta + \theta) = \sin 2\theta\;\cos\theta \;+\;\cos 2\theta\;\sin\theta.
Com \sin 2\theta =2\sin\theta\cos\theta e \cos 2\theta =2\cos^2\theta-1, vem
\sin 3\theta =2\sin\theta\cos^2\theta \;+\;(2\cos^2\theta-1)\sin\theta.
Reagrupando e usando \cos^2\theta=1-\sin^2\theta, resulta
\sin 3\theta = -4\sin^3\theta +3\sin\theta.

Passo 4

Tomando \theta=20^\circ na identidade de \cos 3\theta, escrevemos
\cos 60^\circ =4\cos^3 20^\circ -3\cos 20^\circ.
Como \cos 60^\circ =\tfrac12 e definindo x=\cos 20^\circ, temos
\tfrac12 =4x^3 -3x \quad\Longrightarrow\quad 8x^3 -6x -1=0.

Passo 5

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as únicas candidatas a raízes racionais de 8x^3-6x-1 são \pm1,\pm\tfrac12,\pm\tfrac14,\pm\tfrac18.
Testando cada uma delas no polinômio, nenhuma anula a expressão. Portanto não existem raízes racionais, e assim x é irracional.

Resposta

O número x=\cos 20^\circ satisfaz a equação 8x^3-6x-1=0 e, por não haver raízes racionais, concluímos que \cos 20^\circ é irracional.

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