- Mostre que no semiplano
, o ramo principal do logaritmo é dado por
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, no semiplano
, o ramo principal do logaritmo é dado por
com
e em seguida calcular
. Para isso, vamos usar a representação polar de
e a definição do ramo principal do argumento.
Passo 2
Escrevendo
com
, definimos o módulo
e o argumento principal
tal que
Pela definição do logaritmo principal,
Passo 3
Como
, o ponto
fica no primeiro ou quarto quadrante, onde
Nesse caso
e, portanto,
o que garante
Passo 4
Substituindo
na definição de
, obtemos
com a condição sobre o valor do arco-tangente já verificada.
Passo 5
Para
temos
, logo
Portanto