- A abertura numérica de uma fibra óptica é definida como NA
, com
o índice de refração do meio externo que envolve a fibra e
o semi-ângulo de abertura do cone de aceitação. Mostre que, para uma fibra com perfil de índice tipo degrau, NA =
, com
e
os índices do núcleo e da casca da fibra respectivamente.
Passo 1
Beleza, o que o enunciado pede é mostrar que a “abertura numérica” de uma fibra de índice degrau, definida por
é igual a
onde
-
é o índice do meio externo (geralmente ar), -
é o semi-ângulo de aceitação no ar, -
e são os índices do núcleo e da casca.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de óptica geométrica:
- Lei de Snell na entrada da fibra.
- Condição de reflexão interna total no núcleo/casca (ângulo crítico).
- Relação entre ângulo de lançamento e o ângulo máximo que ancora na fibra.
Passo 2
Primeiro, a lei de Snell na interface núcleo–casca nos dá a condição para reflexão interna total. Se um raio chega à interface núcleo–casca com ângulo
(medido em relação à normal), e internamente ele é refletido sem sair, então esse
deve ser maior ou igual ao ângulo crítico
, definido por
Logo
Passo 3
O raio que fica “no limite” de escapar na casca chega exatamente em
. Mas o ângulo que a gente chama de “ângulo com o eixo da fibra” dentro do núcleo é
.
Nesse caso, para o raio que percorre ao longo do eixo, o maior possível é
Nesse caso, para o raio que percorre ao longo do eixo, o maior
Aí
Passo 4
Agora voltamos lá na entrada da fibra: a lei de Snell entre o meio externo (índice
) e o núcleo (índice
) diz
Mas a definição de abertura numérica é justamente
Substituindo
que a gente achou, vem
que era o que queríamos mostrar.