1. A abertura numérica de uma fibra óptica é definida como NA equiv n0 sin thetaa, com n0 o índice de refração do meio externo que envolve a fibra e thetaa o semi-ângulo de abertura do cone de aceitação. Mostre que, para uma fibra com perfil de índice tipo degrau, NA = n1, com n2 e os índices do núcleo e da casca da fibra respectivamente.

Passo 1

Beleza, o que o enunciado pede é mostrar que a “abertura numérica” de uma fibra de índice degrau, definida por
NA ;equiv; n0,sinthetaa,
é igual a
raizn1^2-n2^2,
onde
  • é o índice do meio externo (geralmente ar),
  • é o semi-ângulo de aceitação no ar,
  • e são os índices do núcleo e da casca.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de óptica geométrica:
  1. Lei de Snell na entrada da fibra.
  2. Condição de reflexão interna total no núcleo/casca (ângulo crítico).
  3. Relação entre ângulo de lançamento e o ângulo máximo que ancora na fibra.

Passo 2

Primeiro, a lei de Snell na interface núcleo–casca nos dá a condição para reflexão interna total. Se um raio chega à interface núcleo–casca com ângulo n1,sinthetac ;=; n2,sin(90^circ);=;n2 (medido em relação à normal), e internamente ele é refletido sem sair, então esse sinthetac ;=;n2n1 deve ser maior ou igual ao ângulo crítico , definido por
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Passo 3

O raio que fica “no limite” de escapar na casca chega exatamente em alphamax ;=; 90^circ - thetac . Mas o ângulo que a gente chama de “ângulo com o eixo da fibra” dentro do núcleo é sin(alphamax) =sinl(90^circ-thetacr) =costhetac =raiz1-sin^2thetac =raiz1-l(tfracn2n1r)^2 =raiz,n1^2-n2^2,n1 .
Nesse caso, para o raio que percorre ao longo do eixo, o maior possível é

Passo 4

Agora voltamos lá na entrada da fibra: a lei de Snell entre o meio externo (índice n0,sinthetaa ;=; n1,sin(alphamax) ) e o núcleo (índice NA;=;n0,sinthetaa ) diz
NA =n1,raiz,n1^2-n2^2,n1 =raiz,n1^2-n2^2,,
Mas a definição de abertura numérica é justamente
Substituindo que a gente achou, vem
que era o que queríamos mostrar.

Resposta

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