A aceleração de uma motocicleta é dada por \mathrm{a},(\mathrm{t})=\mathrm{Ar}-\mathrm{Br} onde \mathrm{A}=1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3} \mathrm{e} \mathrm{B}=0,120 \mathrm{m} / \mathrm{s}. A motocicleta está em repouso na origem no instante =0. a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo. b) Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • A aceleração da motocicleta é dada (com notação ambígua no enunciado). Os parâmetros numéricos fornecidos são A=1{,}5 e B=0{,}120 (o enunciado indicou unidades confusas; vou explicitar a interpretação logo em seguida).
  • Condição inicial: a motocicleta está em repouso na origem no instante t=0. Ou seja, v(0)=0 e x(0)=0.
  • Perguntas:
    a) Calcular a velocidade v(t) e a posição x(t) em função do tempo.
    b) Calcular a velocidade máxima que ela pode atingir.

Passo 2

Interpretação do enunciado (escolha do modelo): o enunciado tem uma escrita confusa, mas o modelo físico mais comum compatível com os números dados é o modelo de aceleração que depende da velocidade, isto é
\frac{dv}{dt}=A-B\,v(t).
Justificativa: esse modelo representa uma força de propulsão constante (termo A) e um termo proporcional à velocidade (resistência) que reduz a aceleração. Para que a equação faça sentido dimensionalmente, precisamos que A tenha unidades de \mathrm{m/s^{2}} e B tenha unidades de \mathrm{s^{-1}}. Com essa escolha, a razão A/B tem unidades de \mathrm{m/s}, que é coerente com uma velocidade limite. Portanto vou usar
A=1{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad B=0{,}120\\ \mathrm{s^{-1}}.
Se o enunciado original tivesse outro significado, o método muda, mas este é o modelo mais razoável e padrão para esse tipo de problema.

Passo 3

Escrever a equação diferencial e as condições iniciais, e explicar o que cada símbolo significa.
  • A equação diferencial é
\frac{dv}{dt}=A-Bv(t).
Aqui v(t) é a velocidade em função do tempo (unidades \mathrm{m/s}), t é o tempo em segundos, A é uma constante de aceleração \mathrm{m/s^{2}} e B é uma constante com dimensão \mathrm{s^{-1}}.
  • Condição inicial: v(0)=0.
  • Nosso objetivo primeiro é resolver essa equação para v(t); depois obtém-se x(t) integrando v(t) e aplicando x(0)=0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial para v(t) — método de separação de variáveis (ou resolução da equação linear de 1ª ordem).
A equação é separável. Reescrevo:
\frac{dv}{dt}=A-Bv \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{A-Bv}=dt.
Agora integro ambos os lados: à esquerda em v, à direita em t.
A integral à esquerda usa a forma \int \frac{du}{a+bu}=\frac{1}{b}\ln|a+bu|+C. Aplicando com u=v, a=A, b=-B, obtemos
\int \frac{dv}{A-Bv} = -\frac{1}{B}\ln|A-Bv| + C.
Integrando o lado direito:
\int dt = t + C'.
Igualando (absorvendo constantes),
-\frac{1}{B}\ln|A-Bv| = t + C_1.
Multiplico por -B:
\ln|A-Bv| = -Bt + C_2.
Faço exponenciação:
A-Bv = C_3 e^{-Bt},
onde C_3 é uma constante positiva (pode ser negativa dependendo do sinal, mas aqui A e v darão positivo). Agora uso a condição inicial v(0)=0:
A-B\cdot 0 = C_3 e^{0}\quad\Rightarrow\quad C_3 = A.
Logo
A-Bv = A e^{-Bt}.
Isolando v:
Bv = A\big(1-e^{-Bt}\big)\quad\Rightarrow\quad v(t)=\frac{A}{B}\big(1-e^{-Bt}\big).
Esta é a expressão fechada para a velocidade. Repare que no instante t=0 temos v(0)=\dfrac{A}{B}(1-1)=0, como exigido; para t\to\infty v(t)\to A/B.

Passo 5

Interpretação física da solução e cálculo da velocidade limite.
  • A solução v(t)=\dfrac{A}{B}\big(1-e^{-Bt}\big) descreve um crescimento da velocidade partindo de zero e tendendo assintoticamente a uma velocidade limite (terminal) igual a \dfrac{A}{B}.
  • Portanto a velocidade máxima teoricamente alcançada quando t\to\infty é
v_{\max}=\frac{A}{B}.
Com os valores dados A=1{,}5 e B=0{,}120,
v_{\max}=\frac{1{,}5}{0{,}120}=12{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Para dar uma ideia prática, convertendo para \mathrm{km/h}: 12{,}5\\ \mathrm{m/s}\times 3{,}6 = 45\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Agora calcular a posição x(t) integrando v(t). Mostrar passo a passo a integral.
Sabemos que v(t)=\dfrac{A}{B}\big(1-e^{-Bt}\big). A posição referente à origem com x(0)=0 é
x(t)=\int_{0}^{t} v(s)\,ds = \frac{A}{B}\int_{0}^{t}\big(1-e^{-Bs}\big)\,ds.
Calculo a integral interna. Primeiro,
\int_{0}^{t} 1\,ds = t,
e
\int_{0}^{t} e^{-Bs}\,ds = \left[-\frac{1}{B}e^{-Bs}\right]_{0}^{t} = -\frac{1}{B}e^{-Bt} + \frac{1}{B}.
Subtraindo,
\int_{0}^{t}\big(1-e^{-Bs}\big)\,ds = t - \frac{1}{B}\big(1-e^{-Bt}\big).
Multiplicando por \dfrac{A}{B},
x(t)=\frac{A}{B}t - \frac{A}{B^{2}}\big(1-e^{-Bt}\big).
Verificação rápida: em t=0 obtemos x(0)=0 (pois os dois termos se cancelam), e a derivada \dfrac{d}{dt}x(t)=v(t), como deve ser.

Passo 7

Substituir os valores numéricos em v(t) e x(t) para apresentar as formas finais.
  • Para a velocidade:
v(t)=\frac{A}{B}\big(1-e^{-Bt}\big)=\frac{1{,}5}{0{,}120}\big(1-e^{-0{,}120\,t}\big)=12{,}5\big(1-e^{-0{,}120\,t}\big)\\ \mathrm{m/s}.
  • Para a posição:
x(t)=\frac{A}{B}t-\frac{A}{B^{2}}\big(1-e^{-Bt}\big)=12{,}5\,t- \frac{1{,}5}{(0{,}120)^{2}}\big(1-e^{-0{,}120\,t}\big)\\ \mathrm{m}.
Calculo do coeficiente numérico \dfrac{A}{B^{2}}=\dfrac{1{,}5}{0{,}120^{2}}=\dfrac{1{,}5}{0{,}0144}=104{,}166\ldots. Então uma forma numérica mais direta é
x(t)=12{,}5\,t-104{,}166\ldots\big(1-e^{-0{,}120\,t}\big)\\ \mathrm{m}.

Resposta

\displaystyle v(t)=\frac{A}{B}\big(1-e^{-Bt}\big)=12{,}5\big(1-e^{-0{,}120\,t}\big)\\ \mathrm{m/s},\quad x(t)=\frac{A}{B}\,t-\frac{A}{B^{2}}\big(1-e^{-Bt}\big)=12{,}5\,t-104{,}166\ldots\big(1-e^{-0{,}120\,t}\big)\\ \mathrm{m}.
\displaystyle v_{\max}=\frac{A}{B}=12{,}5\\ \mathrm{m/s}\\ (=45\\ \mathrm{km/h}).

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