A aceleração de uma motocicleta é dada por
onde
. A motocicleta está em repouso na origem no instante
. a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo. b) Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- A aceleração da motocicleta é dada (com notação ambígua no enunciado). Os parâmetros numéricos fornecidos são
e (o enunciado indicou unidades confusas; vou explicitar a interpretação logo em seguida). - Condição inicial: a motocicleta está em repouso na origem no instante
. Ou seja, e . - Perguntas:
a) Calcular a velocidadee a posição em função do tempo.
b) Calcular a velocidade máxima que ela pode atingir.
Passo 2
Interpretação do enunciado (escolha do modelo): o enunciado tem uma escrita confusa, mas o modelo físico mais comum compatível com os números dados é o modelo de aceleração que depende da velocidade, isto é
Justificativa: esse modelo representa uma força de propulsão constante (termo
) e um termo proporcional à velocidade (resistência) que reduz a aceleração. Para que a equação faça sentido dimensionalmente, precisamos que
tenha unidades de
e
tenha unidades de
. Com essa escolha, a razão
tem unidades de
, que é coerente com uma velocidade limite. Portanto vou usar
Se o enunciado original tivesse outro significado, o método muda, mas este é o modelo mais razoável e padrão para esse tipo de problema.
Passo 3
Escrever a equação diferencial e as condições iniciais, e explicar o que cada símbolo significa.
- A equação diferencial é
Aqui
é a velocidade em função do tempo (unidades
),
é o tempo em segundos,
é uma constante de aceleração
e
é uma constante com dimensão
.
- Condição inicial:
. - Nosso objetivo primeiro é resolver essa equação para
; depois obtém-se integrando e aplicando .
Passo 4
Resolver a equação diferencial para
— método de separação de variáveis (ou resolução da equação linear de 1ª ordem).
A equação é separável. Reescrevo:
Agora integro ambos os lados: à esquerda em
, à direita em
.
A integral à esquerda usa a forma . Aplicando com
,
,
, obtemos
A integral à esquerda usa a forma
Integrando o lado direito:
Igualando (absorvendo constantes),
Multiplico por
:
Faço exponenciação:
onde
é uma constante positiva (pode ser negativa dependendo do sinal, mas aqui A e v darão positivo). Agora uso a condição inicial
:
Logo
Isolando
:
Esta é a expressão fechada para a velocidade. Repare que no instante
temos
, como exigido; para
.
Passo 5
Interpretação física da solução e cálculo da velocidade limite.
- A solução
descreve um crescimento da velocidade partindo de zero e tendendo assintoticamente a uma velocidade limite (terminal) igual a . - Portanto a velocidade máxima teoricamente alcançada quando
é
Com os valores dados
e
,
Para dar uma ideia prática, convertendo para
:
.
Passo 6
Agora calcular a posição
integrando
. Mostrar passo a passo a integral.
Sabemos que
. A posição referente à origem com
é
Calculo a integral interna. Primeiro,
e
Subtraindo,
Multiplicando por
,
Verificação rápida: em
obtemos
(pois os dois termos se cancelam), e a derivada
, como deve ser.
Passo 7
Substituir os valores numéricos em
e
para apresentar as formas finais.
- Para a velocidade:
- Para a posição:
Calculo do coeficiente numérico
. Então uma forma numérica mais direta é