Duas pequenas bolas, que podem ser consideradas como partículas, estão sobre uma superfície horizontal sem atrito. Inicialmente, para um referencial em repouso, a bola 1 de massa m_{1}=m se movimenta com velocidade \vec{v}_{1}=v_{0} \hat{\imath} em um dado sistema de coordenadas. A bola 2 de massa m_{2}=2 m está inicialmente em repouso. Em um dado instante, observa-se que as duas bolas colidem. De posse apenas dessas informações, qual das opções a seguir pode representar as velocidades \vec{v}_{1 f} e \vec{v}_{2 f} das bolas 1 e 2 após a colisão?
(a) \vec{v}_{1 f}=0 \mathrm{e} \vec{v}_{2 f}=\frac{v_{0}}{2} \hat{\imath}
(b) \vec{v}_{1 f}=v_{o} \hat{\jmath} e \vec{v}_{2 f}=-\frac{v_{0}}{2} \hat{\imath}
(c) \vec{v}_{1 f}=\frac{v_{0}}{2} \hat{\imath} e \vec{v}_{2 f}=0
(d) \vec{v}_{1 f}=\frac{v_{0}}{2} \hat{\imath}+\frac{v_{0}}{2} \hat{\jmath} e \vec{v}_{2 f}=\frac{v_{0}}{2} \hat{\imath}-\frac{v_{0}}{4} \hat{\jmath}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Duas partículas (bolas): massa da bola 1 é \,m_{1}=m e massa da bola 2 é \,m_{2}=2m.
  • Velocidades iniciais: \vec{v}_{1} = v_{0}\,\hat{\imath} e \vec{v}_{2} = \vec{0}.
  • As bolas colidem e nos pedem quais pares de velocidades finais \vec{v}_{1f} e \vec{v}_{2f} das opções podem ser as verdadeiras, sabendo apenas as informações dadas.
Informações importantes listadas:
  • Quantidades conhecidas: m_{1}=m, m_{2}=2m, \vec{v}_{1\,\text{in}}=v_{0}\hat{\imath}, \vec{v}_{2\,\text{in}}=\vec{0}.
  • O que se pede: entre as alternativas (a)–(d), qual(es) é(são) compatível(is) com as leis físicas que necessariamente valem dado o enunciado (ou seja, sem assumir que a colisão é elástica).

Passo 2

Princípio físico que sempre devemos usar aqui (porque não há forças externas horizontais): conservação do momento linear total do sistema. Vou explicar devagar e com calma.
  • Definição: o momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula de massa \,m e velocidade \vec{v} é \vec{p}=m\vec{v}.
  • Para um sistema de partículas isolado, o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois:
\vec{p}_{\text{in}}=\vec{p}_{\text{f}}.
  • No nosso caso, o momento total inicial é a soma dos momentos das bolas 1 e 2:
\vec{p}_{\text{in}} = m_{1}\vec{v}_{1\,\text{in}} + m_{2}\vec{v}_{2\,\text{in}}.
  • Como \vec{v}_{2\,\text{in}}=\vec{0}, temos:
\vec{p}_{\text{in}} = m\,(v_{0}\hat{\imath}) + 2m\,(0) = m v_{0}\,\hat{\imath}.
Ou seja, o momento total inicial aponta só em x e vale \,m v_{0} na direção \hat{\imath}.
Observação importante sobre energia: a energia cinética nem sempre é conservada (só é se a colisão for perfeitamente elástica). Como o enunciado não diz que é elástica, não podemos exigir conservação de energia — apenas do momento. Portanto, uma alternativa é possível se e somente se ela satisfizer a conservação vetorial do momento (componentes x e y).
Como trabalhamos com vetores, o procedimento prático é verificar componente por componente (eixo x e eixo y):
  • Componente x: p_{x,\text{in}} = m v_{0}.
  • Componente y: p_{y,\text{in}} = 0.
    E comparar com p_{x,\text{f}} = m_{1} v_{1f,x} + m_{2} v_{2f,x} e p_{y,\text{f}} = m_{1} v_{1f,y} + m_{2} v_{2f,y}.

Passo 3

Vamos testar a alternativa (a):
Dados da alternativa (a):
\vec{v}_{1f}=\vec{0},\qquad \vec{v}_{2f}=\frac{v_{0}}{2}\,\hat{\imath}.
Calcular momento final:
\vec{p}_{\text{f}} = m_{1}\vec{v}_{1f} + m_{2}\vec{v}_{2f} = m\cdot\vec{0} + 2m\cdot\left(\frac{v_{0}}{2}\hat{\imath}\right).
Fazendo as contas:
\vec{p}_{\text{f}} = 0 + 2m\cdot\frac{v_{0}}{2}\,\hat{\imath} = m v_{0}\,\hat{\imath}.
Comparando com o momento inicial \vec{p}_{\text{in}} = m v_{0}\,\hat{\imath}, temos igualdade exata nas componentes x e y (em y ambos são zero). Portanto (a) respeita conservação do momento. Conclusão provisória: (a) é fisicamente possível (não precisamos checar energia).

Passo 4

Vamos testar a alternativa (b):
Dados da alternativa (b):
\vec{v}_{1f}=v_{0}\,\hat{\jmath},\qquad \vec{v}_{2f}=-\frac{v_{0}}{2}\,\hat{\imath}.
Calcular momento final componente a componente.
Componente x:
p_{x,\text{f}} = m_{1}(v_{1f,x}) + m_{2}(v_{2f,x}) = m\cdot 0 + 2m\cdot\left(-\frac{v_{0}}{2}\right) = -m v_{0}.
Mas p_{x,\text{in}} = +m v_{0}. Já deu incompatibilidade no x.
Componente y:
p_{y,\text{f}} = m_{1}(v_{1f,y}) + m_{2}(v_{2f,y}) = m\cdot v_{0} + 2m\cdot 0 = m v_{0},
enquanto p_{y,\text{in}}=0. Também incompatível no y.
Portanto (b) não conserva o momento total (nem em x nem em y). Conclusão: (b) é impossível.

Passo 5

Vamos testar a alternativa (c):
Dados da alternativa (c):
\vec{v}_{1f}=\frac{v_{0}}{2}\,\hat{\imath},\qquad \vec{v}_{2f}=\vec{0}.
Calcular momento final:
\vec{p}_{\text{f}} = m\left(\frac{v_{0}}{2}\hat{\imath}\right) + 2m\cdot\vec{0} = \frac{m v_{0}}{2}\,\hat{\imath}.
Comparando com \vec{p}_{\text{in}} = m v_{0}\,\hat{\imath}, vemos que p_{x,\text{f}} = \frac{m v_{0}}{2} \neq m v_{0}. Portanto, (c) não conserva o momento e é impossível.

Passo 6

Vamos testar a alternativa (d):
Dados da alternativa (d):
\vec{v}_{1f}=\frac{v_{0}}{2}\,\hat{\imath}+\frac{v_{0}}{2}\,\hat{\jmath},\qquad \vec{v}_{2f}=\frac{v_{0}}{2}\,\hat{\imath}-\frac{v_{0}}{4}\,\hat{\jmath}.
Calcular momento final componente a componente.
Componente x:
p_{x,\text{f}} = m_{1}(v_{1f,x}) + m_{2}(v_{2f,x}) = m\cdot\frac{v_{0}}{2} + 2m\cdot\frac{v_{0}}{2}.
Fazendo as contas:
p_{x,\text{f}} = \frac{m v_{0}}{2} + m v_{0} = \frac{3}{2} m v_{0}.
Mas p_{x,\text{in}} = m v_{0}. Já difere.
Componente y:
p_{y,\text{f}} = m\cdot\frac{v_{0}}{2} + 2m\cdot\left(-\frac{v_{0}}{4}\right) = \frac{m v_{0}}{2} - \frac{m v_{0}}{2} = 0,
que coincide com p_{y,\text{in}}=0. Porém a componente x falha.
Portanto (d) não conserva o momento total (falha em x) e é impossível.

Passo 7

Resumo das verificações:
  • (a): conserva momento total — possível.
  • (b): não conserva (x e y) — impossível.
  • (c): não conserva (x) — impossível.
  • (d): não conserva (x) — impossível.
Não há necessidade de verificar energia cinética porque o enunciado não exige colisão elástica; a única lei obrigatória aqui é conservação do momento linear. A alternativa (a) é compatível com essa lei, as demais não.

Resposta

(a)

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