Um projétil de massa m é disparado com velocidade horizontal \vec{v}_{0}=v_{0} \hat{\imath} contra um bloco de massa M, inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal com atrito desprezível. Se o projétil atravessa o bloco e tem sua velocidade final igual a \vec{v}_{0}=\left(v_{0} / 3\right) \hat{\imath}, o módulo da velocidade adquirida pelo bloco é
(a) (2 / 3)(m / M) v_{0}
(b) (1 / 3)(M / m) v_{0}
(c) (1 / 9)(m / M) v_{0}
(d) \sqrt{(8 / 9)(m / M)} v_{0}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados fornecidos:
  • Massa do projétil: m.
  • Massa do bloco: M.
  • Velocidade inicial do projétil: \vec{v}_0 = v_0 \hat{\imath}.
  • O bloco está inicialmente em repouso: velocidade inicial do bloco = 0.
  • O projétil atravessa o bloco e, ao sair, sua velocidade final é \vec{v}_{f} = \left(v_0/3\right)\hat{\imath}.
  • Atrito na mesa desprezível (portanto nenhuma força horizontal externa de atrito).
Pergunta:
  • Qual é o módulo da velocidade adquirida pelo bloco depois da interação? (Há quatro alternativas; devemos escolher a correta.)

Passo 2

Qual princípio físico vamos usar e por quê (explicação didática):
  • A quantidade que nos interessa é o momento linear (ou quantidade de movimento) na direção horizontal. Para um corpo de massa m e velocidade \vec{v}, o momento linear é definido por \vec{p}=m\vec{v}.
  • Para um sistema formado pelo projétil e pelo bloco, a soma vetorial dos momentos iniciais deve ser igual à soma vetorial dos momentos finais se não houver forças externas resultantes na direção considerada. Aqui, como o atrito é desprezível e as forças externas (normal, peso) são verticais, não há impulso externo horizontal significativo. Logo, o momento linear total na direção horizontal é conservado.
  • Em linguagem simples: o empurrão total que o sistema tinha antes (o projétil) tem que ser repartido entre projétil e bloco depois, porque nada fora do par aplicou um empurrão adicional na horizontal.
Fórmula geral de conservação para o eixo x (horizontal):
\sum p_{x,\text{inicial}}=\sum p_{x,\text{final}}.
Aqui cada momento é m v_x ou M V_x etc., onde cada símbolo significa:
  • m: massa do projétil,
  • M: massa do bloco,
  • v_0: velocidade inicial do projétil (módulo),
  • v_0/3: velocidade final do projétil (módulo),
  • V: velocidade (módulo) do bloco após o impacto — é o que queremos achar.

Passo 3

Escrevendo o momento total inicial na direção x:
  • O projétil contribui com momento \;m v_0\; (na direção positiva \hat{\imath}).
  • O bloco está em repouso, contribui com momento \;M\cdot 0 = 0\;.
    Portanto:
\text{momento inicial} = m v_0.

Passo 4

Escrevendo o momento total final na direção x:
  • O projétil saiu com velocidade \;v_0/3\;, então seu momento final é \;m\left(\tfrac{v_0}{3}\right)\;.
  • O bloco passa a ter velocidade V (na mesma direção), seu momento final é \;M V\;.
    Portanto:
\text{momento final} = m\left(\tfrac{v_0}{3}\right) + M V.

Passo 5

Aplicando conservação do momento na direção x:
m v_0 = m\left(\tfrac{v_0}{3}\right) + M V.
Agora resolvemos essa equação para V. Primeiro subtraímos o termo do projétil do lado direito:
M V = m v_0 - m\left(\tfrac{v_0}{3}\right).
Fatorando m v_0:
M V = m v_0\left(1 - \tfrac{1}{3}\right).
Calculando o parêntese:
1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3},
então
M V = m v_0 \cdot \tfrac{2}{3}.

Passo 6

Isolando V:
V = \frac{m v_0}{M}\cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{2}{3}\,\frac{m}{M}\,v_0.
Comentário didático curto:
  • A unidade está coerente (velocidade). Faz sentido físico: se m\ll M, então V é pequeno; se m é comparável a M, V é proporcional a v_0.
  • Observação adicional: a energia cinética não é conservada nesse processo (parte da energia do projétil foi dissipada dentro do bloco ao atravessá-lo), mas isso não impede a conservação do momento linear horizontal.

Resposta

(a) \tfrac{2}{3}\,\dfrac{m}{M}\,v_{0}

Exercícios relacionados