A aceleração de uma partícula é
para
, sendo que em
a posição
é
e a velocidade é
. Determine
no intervalo [
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula cuja aceleração muda com o tempo, dada por $ a(t) = -0,2, t + 1 , m/s² $. No começo, quando $ t = 0 , s $, a posição $ x(0) = 10 , m $ e a velocidade $ v(0) = 10 , m/s $. Nosso objetivo é encontrar a posição $ x(t) $ dessa partícula no intervalo de $ 0 $ a $ 10 $ segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração $ a(t) $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração:
Onde $ C_1 $ é a constante de integração que vamos encontrar usando a condição inicial da velocidade.
Passo 3
Vamos substituir a expressão da aceleração na integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 4
Agora usamos a condição inicial da velocidade para encontrar $ C_1 $. Sabemos que em $ t = 0 $:
Substituindo na expressão da velocidade:
Então, a expressão da velocidade fica:
Passo 5
Agora que temos a expressão da velocidade, vamos encontrar a posição $ x(t) $. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar $ x(t) $, integramos a velocidade:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.
Passo 6
Substituindo a expressão da velocidade na integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 7
Agora usamos a condição inicial da posição para encontrar $ C_2 $. Sabemos que em $ t = 0 $:
Substituindo na expressão da posição:
Então, a expressão final da posição é:
Resposta
A posição da partícula no intervalo de $ 0 $ a $ 10 $ segundos é dada por: