A aceleração de uma partícula é a(t)=-0,2 t+1 em m / s 2 para t em s, sendo que em t0=0 s a posição x é x(0)=10 m e a velocidade é v(0)=10 m / s. Determine x(t) no intervalo [ 0 s ; 10 s].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula cuja aceleração muda com o tempo, dada por $ a(t) = -0,2, t + 1 , m/s² $. No começo, quando $ t = 0 , s $, a posição $ x(0) = 10 , m $ e a velocidade $ v(0) = 10 , m/s $. Nosso objetivo é encontrar a posição $ x(t) $ dessa partícula no intervalo de $ 0 $ a $ 10 $ segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração $ a(t) $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
a(t)
Para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração:
a(t) = dvdt
Onde $ C_1 $ é a constante de integração que vamos encontrar usando a condição inicial da velocidade.

Passo 3

Vamos substituir a expressão da aceleração na integral:
v(t) = integral (-0,2, t + 1) , dt + C1
Integrando termo a termo:
v(t) = -0,2 integral t , dt + integral 1 , dt + C1
v(t) = -0,2 ( t^22 ) + t + C1
Simplificando:
v(t) = -0,1, t^2 + t + C1

Passo 4

Agora usamos a condição inicial da velocidade para encontrar $ C_1 $. Sabemos que em $ t = 0 $:
C1
Substituindo na expressão da velocidade:
t = 0
Então, a expressão da velocidade fica:
v(0) = 10 , m/s

Passo 5

Agora que temos a expressão da velocidade, vamos encontrar a posição $ x(t) $. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
x(t)
Para encontrar $ x(t) $, integramos a velocidade:
v(t) = dxdt
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 6

Substituindo a expressão da velocidade na integral:
x(t) = integral (-0,1, t^2 + t + 10) , dt + C2
Integrando termo a termo:
x(t) = -0,1 integral t^2 , dt + integral t , dt + integral 10 , dt + C2
x(t) = -0,1 ( t^33 ) + ( t^22 ) + 10, t + C2
Simplificando:
x(t) = -0,13 t^3 + 12 t^2 + 10 t + C2
x(t) = -130 t^3 + 12 t^2 + 10 t + C2

Passo 7

Agora usamos a condição inicial da posição para encontrar $ C_2 $. Sabemos que em $ t = 0 $:
C2
Substituindo na expressão da posição:
t = 0
Então, a expressão final da posição é:
x(0) = 10 , m

Resposta

A posição da partícula no intervalo de $ 0 $ a $ 10 $ segundos é dada por:
0

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