A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo O x é dada por
x=2 t^3 m / s^3-t^4 m / s^4
a) Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula.
b) Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula.
c) Para quais instantes de tempo a velocidade da partícula é nula?
d) Qual a velocidade média da partícula para o intervalo de tempo entre t=2 s e t=4 s ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo ao longo do eixo $ OX $ com a posição dada pela equação:
OX
Vamos precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar suas causas. Para resolver os itens a) e b), vamos precisar derivar a função posição para encontrar velocidade e aceleração. No item c), vamos igualar a velocidade a zero para encontrar os instantes em que a partícula para. No item d), vamos calcular a velocidade média no intervalo de tempo dado.

Passo 2

Vamos começar pelo item a): Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
v(t) = dxdt
Vamos derivar cada termo da função $ x(t) $:
x(t)
Derivando termo a termo:
x(t) = 2 t^3 - t^4
ddt(2 t^3) = 6 t^2
Então, a expressão para a velocidade fica:
ddt(- t^4) = -4 t^3

Passo 3

Agora, vamos para o item b): Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
a(t) = dvdt
Já temos a expressão da velocidade:
v(t) = 6 t^2 - 4 t^3
Vamos derivar cada termo:
ddt(6 t^2) = 12 t
ddt(-4 t^3) = -12 t^2
Portanto, a aceleração é:
a(t) = 12 t - 12 t^2

Passo 4

Vamos agora para o item c): Para quais instantes de tempo a velocidade da partícula é nula?
Queremos encontrar os valores de $ t $ que tornam $ v(t) = 0 $. Temos:
t
Vamos fatorar:
v(t) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ 2 t^{2} = 0 $ 6 t^2 - 4 t^3 = 0 $ t = 0 $
  2. $ 3 - 2 t = 0 $ 2 t^2 (3 - 2 t) = 0 $ t = \frac{3}{2} $ segundos
Então, a velocidade da partícula é nula nos instantes $ t = 0 $ s e $ t = \frac{3}{2} $ s.

Passo 5

Por fim, vamos resolver o item d): Qual a velocidade média da partícula para o intervalo de tempo entre $ t = 2 $ s e $ t = 4 $ s?
A velocidade média $ v_{média} $ é dada por:
t = 2 é
Onde $ t_1 = 2 $ s e $ t_2 = 4 $ s.
Primeiro, vamos calcular $ x(2) $ e $ x(4) $:
t = 4
vmédia
Agora, calculamos a variação de posição e o intervalo de tempo:
vmédia = De
t1 = 2
Então, a velocidade média é:
t2 = 4 é

Resposta

a) A expressão para a velocidade da partícula é $ v(t) = 6 t^{2} - 4 t^{3} $.
b) A expressão para a aceleração da partícula é $ a(t) = 12 t - 12 t^{2} $.
c) A velocidade da partícula é nula nos instantes $ t = 0 $ s e $ t = \frac{3}{2} $ s.
d) A velocidade média da partícula no intervalo entre $ t = 2 $ s e $ t = 4 $ s é $ -64 , m/s $.

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