A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo
é dada por
a) Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula.
b) Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula.
c) Para quais instantes de tempo a velocidade da partícula é nula?
d) Qual a velocidade média da partícula para o intervalo de tempo entre
?
b) Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula.
c) Para quais instantes de tempo a velocidade da partícula é nula?
d) Qual a velocidade média da partícula para o intervalo de tempo entre
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo ao longo do eixo $ OX $ com a posição dada pela equação:
Vamos precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar suas causas. Para resolver os itens a) e b), vamos precisar derivar a função posição para encontrar velocidade e aceleração. No item c), vamos igualar a velocidade a zero para encontrar os instantes em que a partícula para. No item d), vamos calcular a velocidade média no intervalo de tempo dado.
Passo 2
Vamos começar pelo item a): Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
Vamos derivar cada termo da função $ x(t) $:
Derivando termo a termo:
Então, a expressão para a velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos para o item b): Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
Já temos a expressão da velocidade:
Vamos derivar cada termo:
Portanto, a aceleração é:
Passo 4
Vamos agora para o item c): Para quais instantes de tempo a velocidade da partícula é nula?
Queremos encontrar os valores de $ t $ que tornam $ v(t) = 0 $. Temos:
Vamos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ 2 t^{2} = 0 $
$ t = 0 $ - $ 3 - 2 t = 0 $
$ t = \frac{3}{2} $ segundos
Então, a velocidade da partícula é nula nos instantes $ t = 0 $ s e $ t = \frac{3}{2} $ s.
Passo 5
Por fim, vamos resolver o item d): Qual a velocidade média da partícula para o intervalo de tempo entre $ t = 2 $ s e $ t = 4 $ s?
A velocidade média $ v_{média} $ é dada por:
Onde $ t_1 = 2 $ s e $ t_2 = 4 $ s.
Primeiro, vamos calcular $ x(2) $ e $ x(4) $:
Agora, calculamos a variação de posição e o intervalo de tempo:
Então, a velocidade média é:
Resposta
a) A expressão para a velocidade da partícula é $ v(t) = 6 t^{2} - 4 t^{3} $.
b) A expressão para a aceleração da partícula é $ a(t) = 12 t - 12 t^{2} $.
c) A velocidade da partícula é nula nos instantes $ t = 0 $ s e $ t = \frac{3}{2} $ s.
d) A velocidade média da partícula no intervalo entre $ t = 2 $ s e $ t = 4 $ s é $ -64 , m/s $.