A aceleração de um ponto material é definida por
, no sistema internacional de unidades.
Sabendo-se que
quando
e que
qunto
, determinar a constante k.
Sabendo-se que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cinemática, especificamente de como a aceleração de um ponto material está relacionada com a sua velocidade ao longo do tempo. A gente sabe que a aceleração é dada por $ a = k t^{2} $, e queremos descobrir o valor da constante $ k $. Para isso, vamos usar as informações das velocidades em dois instantes diferentes de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado pela derivada da velocidade em relação ao tempo:
No nosso caso, sabemos que $ a(t) = k t^{2} $. Para encontrar a velocidade em função do tempo, precisamos integrar a aceleração:
Passo 3
Vamos fazer essa integração. A integral de $ t^{2} $ em relação a $ t $ é:
Então, substituindo na expressão da velocidade:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 4
Sabemos que quando $ t = 0 $, a velocidade $ v = -24 , m/s $. Vamos substituir esses valores na equação da velocidade para encontrar $ C $:
Então, a equação da velocidade fica:
Passo 5
Agora, usamos a segunda condição: quando $ t = 4 , s $, a velocidade $ v = 40 , m/s $. Substituindo na equação:
Passo 6
Vamos resolver para $ k $. Primeiro, somamos 24 em ambos os lados:
Agora, multiplicamos ambos os lados por 3:
Por fim, dividimos ambos os lados por 64:
Resposta
A constante $ k $ é igual a 3 $ m/s^{3} $.