A aceleração de um ponto material é definida por a=k t^2, no sistema internacional de unidades.
Sabendo-se que v=-24 m / s quando t=0 e que v=40 m / s qunto t=4 s, determinar a constante k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cinemática, especificamente de como a aceleração de um ponto material está relacionada com a sua velocidade ao longo do tempo. A gente sabe que a aceleração é dada por $ a = k t^{2} $, e queremos descobrir o valor da constante $ k $. Para isso, vamos usar as informações das velocidades em dois instantes diferentes de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado pela derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt
No nosso caso, sabemos que $ a(t) = k t^{2} $. Para encontrar a velocidade em função do tempo, precisamos integrar a aceleração:
a(t) = k t^2

Passo 3

Vamos fazer essa integração. A integral de $ t^{2} $ em relação a $ t $ é:
t^2
Então, substituindo na expressão da velocidade:
t
integral t^2 , dt = t^33 + C
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 4

Sabemos que quando $ t = 0 $, a velocidade $ v = -24 , m/s $. Vamos substituir esses valores na equação da velocidade para encontrar $ C $:
t = 0
v = -24 , m/s
C
Então, a equação da velocidade fica:
-24 = k cdot 0^33 + C

Passo 5

Agora, usamos a segunda condição: quando $ t = 4 , s $, a velocidade $ v = 40 , m/s $. Substituindo na equação:
t = 4 , s
v = 40 , m/s

Passo 6

Vamos resolver para $ k $. Primeiro, somamos 24 em ambos os lados:
k
40 + 24 = 64k3
Agora, multiplicamos ambos os lados por 3:
64 = 64k3
64 times 3 = 64k
Por fim, dividimos ambos os lados por 64:
192 = 64k
k = 19264

Resposta

A constante $ k $ é igual a 3 $ m/s^{3} $.

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