Uma partícula de 0,34 kg se move no plano x y de acordo com as equações x(t)=-15+ 2 t-4 t^3 e y(t)=25+7 t-9 t^2, com x e y em metros e t em segundos. No instante t=7 s, quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) da força resultante a que está submetida a partícula e © qual é o ângulo da direção de movimento da partícula? [Respostas: (a) 57,5 N; (b) -174^circ ou 186^circ; © -168,5^circ ou 191,5^circ.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física que envolve movimento no plano xy. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente velocidades, acelerações e forças resultantes. A partícula tem uma massa de 0,34 , kg e suas posições em x e y variam com o tempo segundo as equações dadas. A gente vai calcular, no instante t = 7 , s:
(a) O módulo da força resultante;
(b) O ângulo dessa força em relação ao eixo positivo de x;
© O ângulo da direção de movimento da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula nas direções x e y. Para isso, derivamos as funções posição em relação ao tempo.
A velocidade em x:
vx(t) = dxdt = ddt(-15 + 2t - 4t^3) = 2 - 12t^2
A velocidade em y:
vy(t) = dydt = ddt(25 + 7t - 9t^2) = 7 - 18t
Agora, substituímos t = 7 , s:
vx(7) = 2 - 12(7)^2 = 2 - 12(49) = 2 - 588 = -586 , m/s
vy(7) = 7 - 18(7) = 7 - 126 = -119 , m/s

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a aceleração da partícula nas direções x e y. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
A aceleração em x:
ax(t) = dvxdt = ddt(2 - 12t^2) = -24t
A aceleração em y:
ay(t) = dvydt = ddt(7 - 18t) = -18
Substituindo t = 7 , s:
ax(7) = -24(7) = -168 , m/s^2
ay(7) = -18 , m/s^2

Passo 4

Agora, para encontrar a força resultante que atua na partícula, usamos a segunda lei de Newton:
F = m cdot a
Onde m = 0,34 , kg, e a tem componentes ax e ay.
Calculando cada componente da força:
Fx = m cdot ax = 0,34 times (-168) = -57,12 , N
Fy = m cdot ay = 0,34 times (-18) = -6,12 , N

Passo 5

Para achar o módulo da força resultante, usamos o teorema de Pitágoras:
|F| = raizFx^2 + Fy^2 = raiz(-57,12)^2 + (-6,12)^2 approx raiz3265,37 + 37,45 approx raiz3302,82 approx 57,5 , N

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ângulo da força em relação ao eixo positivo de x. Usamos a função tangente:
theta = arctan(FyFx) = arctan(-6,12-57,12) = arctan(0,107) approx 6,15^circ
Mas como ambos Fx e Fy são negativos, a força está no terceiro quadrante, então adicionamos 180°:
theta approx 6,15^circ + 180^circ approx 186,15^circ

Passo 7

Por fim, vamos determinar o ângulo da direção de movimento da partícula. A direção de movimento é dada pela direção do vetor velocidade v.
phi = arctan(vyvx) = arctan(-119-586) = arctan(0,203) approx 11,47^circ
Assim como antes, ambos vx e vy são negativos, então estamos no terceiro quadrante:
phi approx 11,47^circ + 180^circ approx 191,47^circ

Resposta

(a) O módulo da força resultante é 57,5 , N;
(b) O ângulo da força em relação ao semieixo x positivo é 186^circ;
© O ângulo da direção de movimento da partícula é 191,5^circ.

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