Uma partícula de
se move no plano
de acordo com as equações
e
, com
e y em metros e t em segundos. No instante
, quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) da força resultante a que está submetida a partícula e © qual é o ângulo da direção de movimento da partícula? [Respostas: (a)
; (b)
ou
; ©
ou
.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física que envolve movimento no plano xy. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente velocidades, acelerações e forças resultantes. A partícula tem uma massa de
e suas posições em
e
variam com o tempo segundo as equações dadas. A gente vai calcular, no instante
:
(a) O módulo da força resultante;
(b) O ângulo dessa força em relação ao eixo positivo de
;
© O ângulo da direção de movimento da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula nas direções
e
. Para isso, derivamos as funções posição em relação ao tempo.
A velocidade em
:
A velocidade em
:
Agora, substituímos
:
Passo 3
Em seguida, vamos calcular a aceleração da partícula nas direções
e
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
A aceleração em
:
A aceleração em
:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, para encontrar a força resultante que atua na partícula, usamos a segunda lei de Newton:
Onde
, e
tem componentes
e
.
Calculando cada componente da força:
Passo 5
Para achar o módulo da força resultante, usamos o teorema de Pitágoras:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o ângulo da força em relação ao eixo positivo de
. Usamos a função tangente:
Mas como ambos
e
são negativos, a força está no terceiro quadrante, então adicionamos 180°:
Passo 7
Por fim, vamos determinar o ângulo da direção de movimento da partícula. A direção de movimento é dada pela direção do vetor velocidade
.
Assim como antes, ambos
e
são negativos, então estamos no terceiro quadrante:
Resposta
(a) O módulo da força resultante é
;
(b) O ângulo da força em relação ao semieixo
positivo é
;
© O ângulo da direção de movimento da partícula é
.