O acelerador de elétrons de 32 GeV da Universidade de Stanford gera um feixe eletrônico de pequeno comprimento de onda, adequado para o exame de detalhes minuciosos da estrutura nuclear, em experiências de espalhamento. Qual é este comprimento de onda e como ele se compara com o tamanho de um núcleo atômico médio? (A estas energias, é suficiente usar a relação relativística extrema entre o momento linear e a energia, ou seja, p=E / c. Esta é a mesma relação usada para a luz e seu uso é justificado quando a energia cinética de uma partícula é muito maior do que a sua energia de repouso, como ocorre neste caso. O raio de um núcleo de massa média é de cerca de 5,0 \mathrm{fm}.)

Passo 1

O enunciado dá a energia do feixe de elétrons E = 32\\ \mathrm{GeV} e pede o comprimento de onda de Broglie correspondente, usando a relação relativística extrema entre momento linear e energia ( p = E/c). Depois, comparar esse comprimento de onda com o raio médio de um núcleo, que é de aproximadamente 5{,}0\\ \mathrm{fm}.

Passo 2

Usamos a definição de comprimento de onda de Broglie
\lambda = \frac{h}{p}
e, no limite ultrarelativístico ( E\gg mc^2), vale
p = \frac{E}{c}.
Substituindo em \lambda, obtemos
\lambda = \frac{h}{E/c} = \frac{h\,c}{E}.

Passo 3

Para fazer o cálculo numérico, usamos a constante
h\,c = 197\\ \mathrm{MeV}\cdot\mathrm{fm}.
Como E = 32\\ \mathrm{GeV} = 3{,}2\times10^4\\ \mathrm{MeV}, temos
\lambda = \frac{197\\ \mathrm{MeV}\cdot\mathrm{fm}}{3{,}2\times10^4\\ \mathrm{MeV}} \approx 6{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{fm}.

Passo 4

Em unidades de metro,
1\\ \mathrm{fm} = 10^{-15}\\ \mathrm{m} \quad\Longrightarrow\quad \lambda \approx 6{,}2\times10^{-3}\times10^{-15}\\ \mathrm{m} =6{,}2\times10^{-18}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Comparando com o raio médio de núcleo R_\text{núcleo}\approx5{,}0\\ \mathrm{fm}ú, vemos que
\frac{\lambda}{R_\text{núcleo}} \approx \frac{6{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{fm}}{5{,}0\\ \mathrm{fm}} =1{,}24\times10^{-3}.ú
Ou seja, o comprimento de onda é cerca de 0{,}12\% do raio nuclear, aproximadamente 800 vezes menor, garantindo resolução bem superior aos tamanhos nucleares.

Resposta

O feixe tem comprimento de onda
\lambda\approx6{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{fm}\;(6{,}2\times10^{-18}\\ \mathrm{m}),
que é cerca de 1{,}2\times10^{-3} vezes o raio médio de um núcleo de 5{,}0\\ \mathrm{fm} (isto é, quase 800 vezes menor).

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