Questāo 1 ( 2,0 \mathrm{pt} ). Os rebites de aluminio usados na construção de aviōes são feitos com um diâmetro ligeiramente maior do que o diâmetro do buraco, e resfriados com gelo seco ( \mathrm{CO}_{2} sólido) antes de serem colocados nos respectivos buracos. Sabendo que o diâmetro de um buraco na fuselagem vale 2,0 \mathrm{~mm} a 30^{\circ} \mathrm{C}, (a) qual deve ser o diâmetro de um rebite nesta temperatura ( 30^{\circ} \mathrm{C} ) dado que ele (o rebite) entra no buraco de forma justa quando está a -78^{\circ} \mathrm{C} (que é a temperatura do gelo seco)? (b) Qual a variação percentual de seu raio dada a esta variação de temperatura? Ao voar em altitude de cruzeiro, o avião enfrenta normalmente temperatura média de -50^{\circ} \mathrm{C}, pergunta-se: (c) qual será o raio do buraco a esta temperatura e (d) qual a variação percentual da área do burado nesta variação de temperatura? Coeficiente de dilatação do aluminio =2,3 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado trata da dilatação térmica linear de um furo na fuselagem e de um rebite de alumínio, ambos com coeficiente de dilatação linear \alpha=2{,}3\times10^{-4}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}. A 30\,^\circ\mathrm{C} o furo tem diâmetro D_{\text{fu}}(30)=2{,}0,mm.
(a) Queremos o diâmetro do rebite a 30\,^\circ\mathrm{C}, sabendo que, ao ser resfriado a -78\,^\circ\mathrm{C}, seu diâmetro encolhe justo para 2{,}0,mm.
(b) Em seguida calculamos a variação percentual do seu raio nesse resfriamento.
(c) Depois encontramos o raio do furo a -50\,^\circ\mathrm{C} (temperatura de cruzeiro).
(d) Por fim, achamos a variação percentual da área do furo nessa mudança de temperatura.

Passo 2

Para o rebite, use a fórmula da dilatação linear
D(T)=D_0\bigl[1+\alpha\,(T-T_0)\bigr].
Tomando T_0=30\,^\circ\mathrm{C} e T=-78\,^\circ\mathrm{C}, tem-se
\Delta T=-78-30=-108\,^\circ\mathrm{C} e
1+\alpha\,\Delta T = 1 - (2{,}3\times10^{-4})\times108 = 0{,}97516.
Queremos D(-78)=2{,}0 mm, logo
D_0 = D(30) = \frac{D(-78)}{0{,}97516} = \frac{2{,}0}{0{,}97516} \approx2{,}05\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

A variação percentual do raio ao resfriar de 30\,^\circ\mathrm{C} a -78\,^\circ\mathrm{C} é igual à variação linear:
\frac{\Delta r}{r_0}\times100\% =\alpha\,\Delta T\times100\% =(2{,}3\times10^{-4})(-108)\times100\% \approx -2{,}48\%.

Passo 4

Para o furo a -50\,^\circ\mathrm{C}, temos \Delta T'=-50-30=-80\,^\circ\mathrm{C} e
1+\alpha\,\Delta T' = 1-(2{,}3\times10^{-4})\times80 = 0{,}9816.
Então o diâmetro do furo passa a
D_{\text{fu}}(-50) =2{,}0\times0{,}9816 =1{,}9632\\ \mathrm{mm},
e o raio
r_{\text{fu}}(-50)=\frac{D_{\text{fu}}(-50)}{2} \approx0{,}9816\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

A área do furo varia segundo o quadrado do fator linear, de modo que
\frac{A(-50)}{A(30)}=\bigl(1+\alpha\,\Delta T'\bigr)^2 =0{,}9816^2\approx0{,}9635.
A variação percentual da área é
\bigl(0{,}9635-1\bigr)\times100\%\approx -3{,}65\%.

Resposta

(a) O diâmetro do rebite a 30\,^\circ\mathrm{C} deve ser aproximadamente 2{,}05,mm.
(b) A variação percentual do seu raio ao passar de 30\,^\circ\mathrm{C} para -78\,^\circ\mathrm{C} é -2{,}48\%.
(c) O raio do furo a -50\,^\circ\mathrm{C} fica cerca de 0{,}9816,mm.
(d) A área do furo diminui aproximadamente 3{,}65\%.

Exercícios relacionados