Se o comprimento de onda de De Broglie de um próton é igual a 0,113 \mathrm{pm}, ( a ) qual é a velocidade do próton e ( b ) qual seria o potencial elétrico através do qual o próton deveria ser acelerado, a partir do repouso, para adquirir esta velocidade?

Passo 1

O enunciado dá o comprimento de onda de De Broglie de um próton como \lambda = 0,113\mathrm{\,pm} e pede (a) a velocidade v correspondente e (b) o potencial elétrico V que acelera o próton do repouso até essa velocidade. Vamos usar as fórmulas de De Broglie e de energia cinética convertida em potencial elétrico.

Passo 2

A relação de De Broglie é
\lambda = \frac{h}{p}
onde h é a constante de Planck e p=m_p\,v é o momento do próton. Logo
v = \frac{h}{m_p\,\lambda}.
Substituindo
\,h = 6{,}626\times10^{-34}\mathrm{\,J\,s},
\,m_p = 1{,}673\times10^{-27}\mathrm{\,kg} e
\,\lambda = 0,113\times10^{-12}\mathrm{\,m}, temos
v = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{(1{,}673\times10^{-27})(0,113\times10^{-12})} \approx 3,51\times10^{6}\mathrm{\,m/s}.

Passo 3

A energia cinética do próton é
E_k = \tfrac12\,m_p\,v^2.
Para acelerá-lo desde o repouso com um potencial V, vale
E_k = e\,V,
onde e = 1{,}602\times10^{-19}\mathrm{\,C}. Assim
V = \frac{\tfrac12\,m_p\,v^2}{e}.
Usando v = 3,51\times10^{6}\mathrm{\,m/s},
V = \frac{0,5\,(1{,}673\times10^{-27})(3,51\times10^{6})^2}{1{,}602\times10^{-19}} \approx 6,42\times10^{4}\mathrm{\,V}.

Resposta

(a) v \approx 3,51 \times 10^{6} \, \mathrm{m/s}\n(b) V \approx 6,42 \times 10^{4} \, \mathrm{V}

Exercícios relacionados