Acerca das características geométricas das figuras planas, explique:
Momento de Inércia;

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é o momento de inércia de uma figura plana, quais são suas definições matemáticas e sua importância na análise estrutural. O conteúdo envolve cálculo integral aplicado à geometria de áreas e conceitos de eixos de referência (centroidais e paralelos).

Passo 2

Conceitualmente, o momento de inércia de área é uma medida da distribuição da área em relação a um eixo, indicando quanta “resistência” aquela área oferece à flexão ou torção em torno desse eixo. Quanto mais afastada a área do eixo, maior será o momento de inércia.

Passo 3

Matematicamente, para uma área A contínua e um eixo x fixo num plano, o momento de inércia em relação a esse eixo é
I_x = \int_{A} y^2 \,dA,
onde y é a coordenada de cada elemento infinitesimal de área dA perpendicular ao eixo x. De forma análoga,
I_y = \int_{A} x^2 \,dA.
Existe também o momento de inércia polar em torno de um eixo z ortogonal ao plano:
J_z = \int_{A} \bigl(x^2 + y^2\bigr)\,dA
e o produto de inércia
I_{xy} = \int_{A} x\,y\,dA,
que aparece quando o eixo usado não coincide com os centroides.

Passo 4

Quando quisermos calcular o momento de inércia em torno de um eixo paralelo a outro que passa pelo centróide da área, usamos o teorema de Steiner (ou eixo paralelo):
I_{x'} = I_{x_c} + A\,d^2,
onde I_{x_c} é o momento de inércia em relação ao eixo centroidal, A é a área total e d é a distância entre os eixos.

Passo 5

Na prática, tabelas fornecem fórmulas fechadas de I_x, I_y e J_z para retângulos, círculos, triângulos etc. Esses valores servem para dimensionar vigas e eixos sujeitos a flexão e torção, pois quanto maior o momento de inércia, menor será a flecha (deformação) e tensão em uma dada carga.

Resposta

O momento de inércia de área é a integral da distância ao quadrado de cada elemento de área em relação a um eixo, medindo a capacidade geométrica da seção de resistir à flexão ou torção.

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