Acerca das características geométricas das figuras planas, explique:
Momento Polar de Inércia;

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos o conceito de momento polar de inércia, que é uma característica geométrica de figuras planas relacionada à resistência à torção. Para isso, vamos definir sua expressão integral, comentar seu significado físico, apresentar sua relação com os momentos de inércia em eixos ortogonais no plano e mencionar unidades e um exemplo simples.

Passo 2

O momento polar de inércia em relação a um ponto O (eixo perpendicular ao plano) é definido como
J_{O} \;=\;\int_{A} r^{2}\,\mathrm{d}A
em que A é a região da área da figura plana e r é a distância de cada elemento de área \mathrm{d}A até o ponto O. Essa integral soma a contribuição \;r^{2} de cada pedacinho de área.

Passo 3

Fisicamente, J_{O} mede a dificuldade que a seção transversal de um eixo (ou qualquer seção plana) oferece à torção em torno do eixo que passa por O. Quanto maior for J_{O}, maior será a rigidez à torção: um mesmo torque causará uma menor rotação.

Passo 4

Existe uma relação direta entre o momento polar e os momentos de inércia planos I_{x} e I_{y} em eixos que se cruzam em O e são perpendiculares no plano. Esse resultado é conhecido como teorema do eixo perpendicular:
J_{O} \;=\; I_{x} \;+\; I_{y}
ou seja, a soma dos momentos de inércia em x e em y vale o momento polar em O.

Passo 5

As dimensões de J_{O} são de comprimento à quarta potência vezes área, isto é, \text{[comprimento]}^{4}. No Sistema Internacional, a unidade é \mathrm{m}^{4}.

Passo 6

Como exemplo rápido, para uma circunferência de raio R com área cheia, centralizada em O, obtém-se
J_{O} \;=\;\int_{A}r^{2}\,\mathrm{d}A \;=\;\frac{\pi\,R^{4}}{2}\,.
Este resulta na rigidez à torção de eixos circulares.

Resposta

O momento polar de inércia de uma figura plana em torno de um ponto O é
J_{O}=\int_{A}r^{2}\,\mathrm{d}A,
mede a resistência dessa seção à torção, satisfaz J_{O}=I_{x}+I_{y} pelo teorema do eixo perpendicular, tem unidade \mathrm{m}^{4} e, por exemplo, para um círculo de raio R vale \pi R^{4}/2.

Exercícios relacionados