Acerca das características geométricas das figuras planas, explique:
Momento Polar de Inércia;
Momento Polar de Inércia;
Passo 1
O enunciado pede para explicarmos o conceito de momento polar de inércia, que é uma característica geométrica de figuras planas relacionada à resistência à torção. Para isso, vamos definir sua expressão integral, comentar seu significado físico, apresentar sua relação com os momentos de inércia em eixos ortogonais no plano e mencionar unidades e um exemplo simples.
Passo 2
O momento polar de inércia em relação a um ponto
(eixo perpendicular ao plano) é definido como
em que
é a região da área da figura plana e
é a distância de cada elemento de área
até o ponto
. Essa integral soma a contribuição
de cada pedacinho de área.
Passo 3
Fisicamente,
mede a dificuldade que a seção transversal de um eixo (ou qualquer seção plana) oferece à torção em torno do eixo que passa por
. Quanto maior for
, maior será a rigidez à torção: um mesmo torque causará uma menor rotação.
Passo 4
Existe uma relação direta entre o momento polar e os momentos de inércia planos
e
em eixos que se cruzam em
e são perpendiculares no plano. Esse resultado é conhecido como teorema do eixo perpendicular:
ou seja, a soma dos momentos de inércia em
e em
vale o momento polar em
.
Passo 5
As dimensões de
são de comprimento à quarta potência vezes área, isto é,
. No Sistema Internacional, a unidade é
.
Passo 6
Como exemplo rápido, para uma circunferência de raio
com área cheia, centralizada em
, obtém-se
Este resulta na rigidez à torção de eixos circulares.
Resposta
O momento polar de inércia de uma figura plana em torno de um ponto
é
mede a resistência dessa seção à torção, satisfaz
pelo teorema do eixo perpendicular, tem unidade
e, por exemplo, para um círculo de raio
vale
.