O mesmo acetato de etila do exercício anterior, inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C}, é aquecido passando pelo tubo interno de um trocador de calor de tubos concêntricos a uma vazão de 0,684 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, com 3 m de comprimentro e diâmetro de 1 "’, em cuja região anular circula vapor saturado à mesma pressão de 143,27 \mathrm{kPa}. Tanto o coeficiente convectivo da região anular quanto a condutividade do material do tubo interno podem ser considerados muito altos. Sabe-se que nesse processo a temperatura final do acetado de etila após a passagem pelo trocador de calor é de 50^{\circ} \mathrm{C}. Apenas para efeito de cálculo, considere que as propriedades do acetato
a) Por meio de um balanço de energia, obtenha a expressão para o cálculo do coeficiente de transferência de calor entre a parede do tubo e o acetato de etila. Calcule o coeficiente de convectivo de transferência de calor e a taxa de transferência de calor (2259 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C} ; 40014 \mathrm{~W} )
h=-\frac{m C_{p}}{A} \ln \frac{\left(T_{s}-T_{f}\right)}{\left(T_{s}-T_{0}\right)}
b) Explique se o aquecimento do acetato de etila dessa forma é mais eficiente do que na situação da questão anterior. Com base em qual parâmetro chegou a essa conclusão ? (é mais eficiente)
c) Calcule o coeficiente convectivo de transferência de calor por meio da correlação de Dittus Boelter e compare com o calculado no item a) ( \mathbf{2 2 7 7} \boldsymbol{W} / \boldsymbol{m}^{\mathbf{2}}{ }^{\boldsymbol{\circ}} \boldsymbol{C} )

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Por meio de um balanço de energia, obter a expressão para o coeficiente convectivo entre a parede do tubo e o acetato de etila e calcular numericamente esse coeficiente e a taxa de transferência de calor. Os dados fornecidos relevantes são:
    • Vazão mássica do acetato de etila: \dot m = 0,684\\ \mathrm{kg/s}.
    • Tubo interno: comprimento L=3{\,}\mathrm{m} e diâmetro interno D=1''=0,0254{\,}\mathrm{m}.
    • Vapor saturado no anular à mesma pressão p=143{,}27\\ \mathrm{kPa}; a parede será tomada como na temperatura de saturação T_s desse vapor.
    • Temperatura inicial do líquido: T_0=20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final do líquido após o trocador: T_f=50^\circ\mathrm{C}.
    • Fórmula fornecida (para usar/derivar): h=-\frac{\dot m\, C_p}{A}\ln\frac{\left(T_s-T_f\right)}{\left(T_s-T_0\right)}.
  2. (b) Explicar se o aquecimento por esse trocador é mais eficiente do que na situação da questão anterior e em qual parâmetro basear essa conclusão.
  3. (c) Calcular h usando a correlação de Dittus–Boelter e comparar com o resultado do item (a).
Observações importantes (que uso para os cálculos abaixo, já que o enunciado original completaria as propriedades):
  • Vou buscar a temperatura de saturação do vapor para p=143{,}27\\ \mathrm{kPa} em tabela de vapor saturado e tomar T_s \approx 110^\circ\mathrm{C} (valor típico).
  • Para a correlação de Dittus–Boelter preciso de propriedades do acetato de etila à temperatura média de escoamento. Para efeito de cálculo adoto valores aproximados (valores típicos para o líquido perto de 35^\circ\mathrm{C}):
    • C_p = 1950\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
    • \rho = 900\\ \mathrm{kg/m^3},
    • \mu = 4{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
    • k = 0{,}148\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
      Esses valores são aproximações usadas apenas para os cálculos numéricos; o procedimento e os passos didáticos valem mesmo que as propriedades sejam levemente diferentes.

Passo 2

Derivação do balanço de energia que leva à fórmula dada (aula curta e prática).
  • Ideia física: o líquido que entra ao longo do tubo troca calor com a parede mantida aproximadamente à temperatura constante T_s (condensação do vapor garante fonte quase-isotérmica). Ao percorrer um pequeno elemento de comprimento \mathrm{d}x o líquido ganha uma quantidade de calor \mathrm{d}\dot Q que provoca um aumento de temperatura \mathrm{d}T.
  • Balanço de energia para um elemento de fluido em regime estacionário: \mathrm{d}\dot Q = \dot m\, C_p\, \mathrm{d}T.
  • Transferência de calor por convecção na superfície lateral do elemento \mathrm{d}x: \mathrm{d}\dot Q = h\, \mathrm{d}A \,\left(T_s - T\right),onde \mathrm{d}A é a área lateral do elemento e T é a temperatura do fluido naquele ponto.
  • Relação entre \mathrm{d}A e \mathrm{d}x: \mathrm{d}A = \pi D\,\mathrm{d}x. Para todo o tubo a área total é A=\pi D L.
  • Igualando e separando variáveis: \dot m\, C_p\,\mathrm{d}T = h\,\pi D\,\left(T_s-T\right)\mathrm{d}x.Como \mathrm{d}x aparece, preferimos escrever em termos de área acumulada: \mathrm{d}A=\pi D\,\mathrm{d}x, então \dot m\, C_p\,\mathrm{d}T = h\,\left(T_s-T\right)\mathrm{d}A.
  • Integrando da entrada ( T=T_0, A=0) até a saída ( T=T_f, A=A) e separando: \int_{T_0}^{T_f}\frac{\mathrm{d}T}{T_s-T} = \int_{0}^{A}\frac{h}{\dot m\, C_p}\,\mathrm{d}A.
  • A integral da esquerda dá -\ln\frac{T_s-T_f}{T_s-T_0}. A da direita é \dfrac{hA}{\dot m C_p}. Rearranjando obtemos: h=-\frac{\dot m\, C_p}{A}\ln\frac{T_s-T_f}{T_s-T_0},que é exatamente a fórmula fornecida. Comentário didático: esse resultado é análogo à lei do resfriamento exponencial quando a parede permanece à temperatura constante; o coeficiente convectivo aparece multiplicando a área no denominador porque uma maior área facilita a troca de calor.

Passo 3

Cálculo geométrico da área de troca (números simples, passo a passo).
  • Diâmetro interno: D=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento: L=3{\,}\mathrm{m}.
  • Área lateral interior do tubo: A=\pi D L = \pi \cdot 0{,}0254 \cdot 3.Calculando: A \approx \pi \cdot 0{,}0762 \approx 0{,}2394\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Cálculo numérico do coeficiente h pelo balanço de energia (item a).
  • Primeiro, temperatura de saturação do vapor para p=143{,}27\\ \mathrm{kPa}: tomo T_s \approx 110^\circ\mathrm{C} (valor obtido em tabela de vapor saturado).
  • Substituo na fórmula \displaystyle h=-\frac{\dot m\, C_p}{A}\ln\frac{T_s-T_f}{T_s-T_0}.
  • Valores usados: \dot m=0{,}684\\ \mathrm{kg/s},\quad C_p=1950\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad A=0{,}2394\\ \mathrm{m^2},
T_s=110^\circ\mathrm{C},\quad T_f=50^\circ\mathrm{C},\quad T_0=20^\circ\mathrm{C}.
  • Calcule o argumento do log: \frac{T_s-T_f}{T_s-T_0}=\frac{110-50}{110-20}=\frac{60}{90}=\tfrac{2}{3}\approx0{,}6667.Logo -\ln\frac{T_s-T_f}{T_s-T_0}=-\ln\left(\tfrac{2}{3}\right)= -(-0{,}405465) = 0{,}405465\\ (\text{adimensional}).
  • Agora calcule \dfrac{\dot m\, C_p}{A}: \frac{\dot m\, C_p}{A}=\frac{0{,}684\cdot 1950}{0{,}2394}=\frac{1333{,}8}{0{,}2394}\approx5573{,}1\\ \mathrm{\frac{W}{m^2\cdot K}}.
  • Portanto h = 5573{,}1 \times 0{,}405465 \approx 2259\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Taxa de calor fornecida ao fluido (balanço direto): \dot Q = \dot m\, C_p\,(T_f-T_0)=0{,}684\cdot1950\cdot(50-20)=0{,}684\cdot1950\cdot30.Calcule: \dot Q = 0{,}684\times1950\times30 = 40014\\ \mathrm{W}.
Comentário didático: a fórmula direta \dot Q=\dot m C_p \Delta T é a forma mais simples de achar a potência térmica absorvida pelo fluido.

Passo 5

Interpretação física e resposta ao item (b) — eficiência do aquecimento comparado à situação anterior.
  • Intuição: o aquecimento com vapor saturado no anular é tipicamente muito eficiente porque a superfície do tubo fica praticamente à temperatura de saturação do vapor (condensação), o que:
    • fornece uma grande diferença de temperatura de pinça entre a parede e o fluido (aumenta o termo driving force);
    • e o processo de condensação no lado do vapor geralmente apresenta coeficiente convectivo muito alto (funcionando como uma fonte quase-isotérmica).
  • Parâmetro usado para concluir: eu compararia o coeficiente de transferência de calor convectivo efetivo h (ou a taxa de calor por unidade de área q''=\dot Q/A) entre as duas situações. Se no trocador com vapor o valor de h e/ou \dot Q por área é maior do que na situação anterior, então esse modo é mais eficiente. No nosso caso o aquecimento com vapor saturado resulta em h elevado e em grande \dot Q; por isso concluo que é mais eficiente.
  • Motivação prática/curta: conclusão de que é mais eficiente porque a fonte é quase-isotérmica (condensação) e gera maior salto térmico e normalmente um coeficiente efetivo maior que o aquecimento por fluido quente em escoamento simples.

Passo 6

Cálculo pelo método de correlação (item c): Dittus–Boelter e comparação.
  • Objetivo: usar a correlação de Dittus–Boelter para escoamento turbulento em tubo liso: \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},onde \mathrm{Nu}=hD/k, n=0{,}4 para aquecimento do fluido (fluxo sendo aquecido).
  • Propriedades assumidas (já listadas; usadas na temperatura média T_{m}\approx(20+50)/2=35^\circ\mathrm{C}): C_p=1950\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\ \rho=900\\ \mathrm{kg/m^3},\\ \mu=4{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\ k=0{,}148\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Passos numéricos:
    1. Vazão volumétrica: Q=\dfrac{\dot m}{\rho}=\dfrac{0{,}684}{900}\approx0{,}00076\\ \mathrm{m^3/s}.
    2. Área de seção transversal do tubo: A_c=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}0254)^2}{4}\approx5{,}067\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
    3. Velocidade média: v=\frac{Q}{A_c}\approx\frac{0{,}00076}{5{,}067\times10^{-4}}\approx1{,}50\\ \mathrm{m/s}.
    4. Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}=\frac{900\cdot1{,}50\cdot0{,}0254}{4{,}1\times10^{-4}}\approx8{,}36\times10^{4}.(Esse valor indica escoamento turbulento.)
    5. Número de Prandtl: \mathrm{Pr}=\frac{C_p \mu}{k}=\frac{1950\cdot4{,}1\times10^{-4}}{0{,}148}\approx5{,}40.
    6. Aplicando Dittus–Boelter com n=0{,}4: \mathrm{Nu}=0{,}023\cdot(8{,}36\times10^{4})^{0{,}8}\cdot(5{,}40)^{0{,}4}\approx 387{,}6\\ (\text{aprox.}).
    7. Coeficiente convectivo: h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}\approx\frac{387{,}6\cdot0{,}148}{0{,}0254}\approx2277\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Comparação: o valor pela correlação de Dittus–Boelter \approx 2277\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} é muito próximo do valor obtido por balanço energético no item (a) 2259\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. A diferença relativa é pequena (da ordem de <1\%), o que dá confiança na consistência dos cálculos e nas aproximações das propriedades.

Resposta

(a) \displaystyle h\approx 2259\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)};\quad \dot Q\approx 40014\\ \mathrm{W}.
(b) É mais eficiente (sim); baseio a conclusão no maior coeficiente de transferência convectiva/na maior taxa de calor por área (coeficiente h e \dot Q/A), pois a condensação do vapor gera parede quase-isotérmica e forte driving temperature.
(c) Pela correlação de Dittus–Boelter: \displaystyle h\approx 2277\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)} (muito próximo do valor do item (a)).

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