Uma massa de 3500 kg de acetato de etila, inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C}, é colocada em um tanque encamisado agitado com 2 m de diâmetro feito de um liga metálica excelente condutora de calor para aquecimento. No lado da camisa passa vapor saturado a 143,27 kPa . Sabe-se que para aquecer o acetato de etila até 70^{\circ} \mathrm{C} leva-se 10 minutos. Considere o calor específico do acetato de etila constante em toda a faixa de temperatura do sistema; que a altura do fluido não seja afetada significativamente com a agitação.
a)Por meio de um balanço de energia, obtenha a expressão matemática para cálculo do coeficiente global de transferência de calor entre o vapor da camisa e o acetato de etila.
U=-\frac{m C_{p}}{A t} \ln \frac{\left(T_{v a p}-T\right)}{\left(T_{v a p}-T_{0}\right)}
b)Qual será a temperatura do fluido após 7 minutos de aquecimento considerando que o coeficiente global de transferência de calor seja o mesmo do intem anterior. \left(\mathbf{5 9}^{\circ} \mathbf{C}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido claramente):
  • Massa do acetato de etila: m=3500\\ \mathrm{kg}.
  • Diâmetro do tanque: D=2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial do fluido: T_{0}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Após t=10\\ \mathrm{min} o fluido atinge T=70^\circ\mathrm{C}.
  • No lado da camisa passa vapor saturado a 143{,}27\\ \mathrm{kPa} (logo o vapor tem uma temperatura de saturação T_{vap} correspondente a essa pressão).
  • Pressupostos do enunciado: C_{p} do acetato de etila é constante, mistura bem agitada (fluido praticamente homogêneo), a altura do fluido não muda significativamente.
  • O que pedem:
    a) Por meio de um balanço de energia, obter a expressão matemática para o coeficiente global de transferência de calor U (a expressão dada no enunciado deve ser obtida).
    b) Com o mesmo coeficiente U encontrado, calcular a temperatura do fluido após 7 minutos de aquecimento.
Observações de dados que vamos usar (valores de propriedade obtidos em tabelas de engenharia, comuns para esse problema; eu explico quando uso):
  • Temperatura de saturação do vapor a 143{,}27\\ \mathrm{kPa}: peguei da tabela de vapor saturado; T_{vap}\approx108^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade do acetato de etila a 20^\circ\mathrm{C}: \rho\approx897\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} (tabela).
  • Calor específico do acetato de etila (líquido), valor típico: C_{p}\approx1460\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
    Esses dois últimos valores são necessários para calcular a área de troca e obter números; se sua prova fornece outros valores, substitua-os.

Passo 2

Modelo físico e equações básicas (explicação didática passo a passo)
  • Como o tanque está bem agitado, assumimos que a temperatura do fluido é uniforme em todo o volume (modelo “well-mixed” ou “lumped capacitance” para o fluido). Assim todo o fluido tem uma única temperatura T(t) que varia no tempo.
  • A troca de calor entre a camisa (vapor) e o fluido é, na prática, dada pela lei de resfriamento/aquecimento de Newton aplicada entre a superfície e o fluido: \dot{Q} = U\,A\,(T_{vap}-T)onde:
    • \dot{Q} é a taxa de calor transferido para o fluido (W),
    • U é o coeficiente global de transferência de calor ( \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}),
    • A é a área de troca térmica entre camisa e fluido ( \mathrm{m^2}),
    • T_{vap} é a temperatura do vapor saturado (constante enquanto houver condensação),
    • T é a temperatura do fluido (função do tempo).
  • Balanço de energia para o fluido: a variação de energia interna do fluido é igual ao calor recebido: m\,C_p\,\frac{dT}{dt} = \dot{Q} = U\,A\,(T_{vap}-T).Explicando variáveis:
    • m massa do fluido (kg),
    • C_p capacidade térmica massiva (J·kg⁻¹·K⁻¹),
    • dT/dt derivada temporal da temperatura (K·s⁻¹).

Passo 3

Resolver a equação diferencial (separação de variáveis) — aula rápida sobre o procedimento
Temos a EDO:
m C_p \,\frac{dT}{dt} = U A (T_{vap}-T).
Passo a passo:
  1. Colocar na forma separável:
\frac{dT}{T_{vap}-T} = \frac{U A}{m C_p}\,dt.
  1. Integrar ambos os lados entre as condições iniciais: quando t=0, T=T_0; quando t=t, T=T(t). A integral do lado esquerdo é do tipo \int dT/(T_{vap}-T) = -\ln(T_{vap}-T).
  2. Após integração:
-\ln\big(T_{vap}-T\big)\Big|_{T_0}^{T} = \frac{U A}{m C_p}\,t.
Isso dá:
-\big[\ln(T_{vap}-T)-\ln(T_{vap}-T_0)\big] = \frac{U A}{m C_p}\,t.
Rearranjando:
\ln\frac{T_{vap}-T}{T_{vap}-T_0} = -\frac{U A}{m C_p}\,t.
Isolando U obtemos a expressão pedida:
U = -\frac{m C_p}{A t}\,\ln\frac{T_{vap}-T}{T_{vap}-T_0}.
Comentário: essa é a expressão que aparece no enunciado. Ela vale sempre que T_{vap} seja constante (vapor saturado condensando) e C_p constante.

Passo 4

Cálculo da área de troca A a partir dos dados geométricos e massa (passo-a-passo numérico)
  • Primeiro calculamos o volume do fluido usando a densidade: V=\frac{m}{\rho}=\frac{3500\\ \mathrm{kg}}{897\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}}\approx3{,}903\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Área da base do cilindro (seção transversal) com D=2{,}0\\ \mathrm{m}: A_{base}=\frac{\pi D^{2}}{4}=\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx3{,}1416\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Altura do fluido H: H=\frac{V}{A_{base}}\approx\frac{3{,}903}{3{,}1416}\approx1{,}243\\ \mathrm{m}.
  • Considerando a área lateral de troca (camisa em volta do cilindro), a área de troca é A=\pi D H=\pi\cdot2{,}0\cdot1{,}243\approx7{,}807\\ \mathrm{m^{2}}.
(Se a camisa também cobre topo/fundo, esses termos poderiam ser somados; aqui usamos a lateral apenas, que é o habitual.)

Passo 5

Determinar T_{vap} e preparar para calcular U numericamente
  • A partir da pressão fornecida 143{,}27\\ \mathrm{kPa}, a temperatura de saturação do vapor (tabela de vapor saturado) é, tipicamente, T_{vap}\approx108^\circ\mathrm{C}.(Usei tabela padrão de vapor saturado para obter esse valor.)
  • Converter tempo para segundos: t=10\\ \mathrm{min}=600\\ \mathrm{s}.
  • Usaremos C_p=1460\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} como valor típico (tabela de propriedades do acetato de etila).

Passo 6

Cálculo numérico do coeficiente U usando a expressão obtida
Aplicando
U = -\frac{m C_p}{A t}\,\ln\frac{T_{vap}-T}{T_{vap}-T_0},
substituímos os números:
m=3500\\ \mathrm{kg},\quad C_p=1460\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}},\quad A=7{,}807\\ \mathrm{m^2},
t=600\\ \mathrm{s},\quad T_{vap}=108^\circ\mathrm{C},\quad T_0=20^\circ\mathrm{C},\quad T=70^\circ\mathrm{C}.
Calcule o argumento do log:
\frac{T_{vap}-T}{T_{vap}-T_0}=\frac{108-70}{108-20}=\frac{38}{88}\approx0{,}43182.
O logaritmo natural:
\ln(0{,}43182)\approx-0{,}840.
Agora:
U=-\frac{3500\cdot1460}{7{,}807\cdot600}\cdot(-0{,}840).
Calcule passo a passo:
mC_p=3500\cdot1460=5\,110\,000\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
A t=7{,}807\cdot600\approx4\,684{,}2\\ \mathrm{m^{2}\,s},
\frac{mC_p}{A t}\approx\frac{5\,110\,000}{4\,684{,}2}\approx1{,}091\\ \mathrm{s^{-1}\,K^{-1}}.
Finalmente
U\approx1{,}091\cdot0{,}840\approx0{,}916\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Ou seja
U\approx916\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 7

Calcular a temperatura após 7 minutos usando o mesmo U (procedimento e conta)
  • Expressão para T(t) (obtida da integração anterior): T(t)=T_{vap}-(T_{vap}-T_0)\exp\!\Big(-\frac{U A}{m C_p}\,t\Big).
  • Primeiro calcular o fator \dfrac{U A}{m C_p}. Podemos usar o valor de \dfrac{U A}{m C_p} anteriormente obtido quando resolvemos para U:
    da equação integrada temos \frac{U A}{m C_p} = -\frac{1}{t}\ln\frac{T_{vap}-T}{T_{vap}-T_0}e para t=600\\ \mathrm{s} encontramos \dfrac{U A}{m C_p}\approx0{,}0014\\ \mathrm{s^{-1}} (valor consistente com as contas anteriores).
  • Para t=7\\ \mathrm{min}=420\\ \mathrm{s}, o expoente é -\frac{U A}{m C_p}\,t \approx -0{,}0014\cdot420\approx-0{,}588.
  • Calcule \exp(-0{,}588)\approx0{,}556.
  • Logo T(7\\ \mathrm{min})=108-(108-20)\cdot0{,}556=108-88\cdot0{,}556\approx108-48{,}94\approx59{,}06^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática: T(7\\ \mathrm{min})\approx59^\circ\mathrm{C}, que é o resultado indicado no enunciado.

Resposta

(a) U=-\dfrac{m C_{p}}{A t}\ln\!\dfrac{(T_{vap}-T)}{(T_{vap}-T_{0})};\quad valor numérico calculado U\approx9,16\times10^{2}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
(b) T(7\\ \mathrm{min})\approx59^\circ\mathrm{C}.

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