Achar uma base ortogonal do complemento ortogonal de W=[A, B] no espa, co M_{2 \times 2} \mathrm{R} com o produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right). Completar esta base para formar uma base de M_{2 \times 2}(\mathrm{R}) sendo
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de W^{\perp}, onde
W = \mathrm{span}\{A,B\}\subset M_{2\times2}(\mathbb{R}),
com produto interno \langle X,Y\rangle = \tr(Y^tX).
Em seguida, completar essa base para formar uma base de todo M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Passo 2

Escrevemos uma matriz genérica
X = \begin{pmatrix}x & y \\\ z & w\end{pmatrix}
e impomos \langle A,X\rangle = \tr(A^tX)=x+y=0
e \langle B,X\rangle = \tr(B^tX)=z+w=0.
Logo
y = -x,\quad w = -z.

Passo 3

Substituindo,
X = \begin{pmatrix}x & -x \\\ z & -z\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Definindo
E_{1} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{2} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix},
vemos que \{E_{1},E_{2}\} é uma base de W^{\perp}. Além disso, \langle E_{1},E_{2}\rangle = 0,
então a base é ortogonal.

Passo 4

Como \dim M_{2\times2}(\mathbb{R})=4 e \dim W=2, basta adicionar duas matrizes de W para completar. As matrizes A e B são linearmente independentes, logo
\{E_{1},E_{2},A,B\}
é base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Resposta

Base ortogonal de W^{\perp}:
E_{1}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Base completa de M_{2\times2}(\mathbb{R}):
\{E_{1},E_{2},A,B\}.

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