Considere a transforma, cao linear T: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{2} definida por T(x, y, z)=(x-y-z, 2 z-x). Determine uma base do complemento ortogonal do núcleo \operatorname{Nuc}(T).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \quad T(x,y,z) = (\,x - y - z,\;2z - x\,)
e pede uma base de (\ker T)^{\perp}.
Conteúdo: espaços fundamentais de uma matriz A de T: \ker T e seu complemento ortogonal é o espaço das linhas de A (ou imagem de A^T).

Passo 2

Vamos escrever a matriz A que representa T no padrão canônico. Para (x,y,z) temos
T(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ -1& 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Logo,
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ -1& 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Pelo Teorema dos Espaços Fundamentais,
(\ker T)^{\perp} = \mathrm{Row}(A) = \mathrm{Im}(A^T).
As linhas de A já formam uma base de \mathrm{Row}(A). Elas são
\ell_1 = (1,\,-1,\,-1), \quad \ell_2 = (-1,\,0,\,2).
Verificamos que \ell_1 e \ell_2 são linearmente independentes, pois
uma combinação a\ell_1 + b\ell_2 = 0 leva a a=b=0.

Resposta

Uma base de (\ker T)^{\perp} é
\{\,(\,1,\,-1,\,-1),\;(-1,\,0,\,2)\}.

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