Construir, apartir do vetor
uma base ortogonal do
, relativamente ao produto interno usual
obter, a partir desta, uma base ortonormal.
Passo 1
O enunciado pede para, a partir do vetor dado
,
construir uma base ortogonal de usando o produto interno usual, e em seguida normalizar essa base para obter uma base ortonormal. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt.
construir uma base ortogonal de
Passo 2
Escolhemos dois vetores quaisquer que, junto com
, formem um sistema linearmente independente. Por simplicidade, tomamos
Em seguida, aplicamos Gram–Schmidt em
.
Passo 3
Definimos
Para obter
ortogonal a
, calculamos
Logo
Para evitar frações, podemos substituir
por
, que mantém a ortogonalidade.
Passo 4
Para
, subtraímos de
as projeções em
e em
:
Então
Multiplicamos por 2 para limpar frações e obtemos
.
Passo 5
Portanto, uma base ortogonal de
é
Passo 6
Por fim, normalizamos cada
para ter comprimento 1:
Assim, a base ortonormal é
Resposta
A base ortogonal é
e a base ortonormal correspondente é