Construir, apartir do vetor (1,-2,1) uma base ortogonal do R^{3}, relativamente ao produto interno usual e obter, a partir desta, uma base ortonormal.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir do vetor dado \;u_1=(1,-2,1),
construir uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 usando o produto interno usual, e em seguida normalizar essa base para obter uma base ortonormal. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Escolhemos dois vetores quaisquer que, junto com u_1, formem um sistema linearmente independente. Por simplicidade, tomamos
u_2=(0,1,0), \quad u_3=(0,0,1).
Em seguida, aplicamos Gram–Schmidt em (u_1,u_2,u_3).

Passo 3

Definimos
v_1 = u_1 = (1,-2,1).
Para obter v_2 ortogonal a v_1, calculamos
\text{proj}_{v_1}(u_2) = \frac{\langle u_2,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}\,v_1 = \frac{-2}{6}\,v_1 = -\tfrac{1}{3}(1,-2,1) = \bigl(-\tfrac13,\tfrac23,-\tfrac13\bigr).
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v_2 = u_2 - \text{proj}_{v_1}(u_2) = \bigl(0,1,0\bigr) - \bigl(-\tfrac13,\tfrac23,-\tfrac13\bigr) = \bigl(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13\bigr).
Para evitar frações, podemos substituir v_2 por 3v_2=(1,1,1), que mantém a ortogonalidade.

Passo 4

Para v_3, subtraímos de u_3 as projeções em v_1 e em v_2:
\text{proj}_{v_1}(u_3) = \frac{\langle u_3,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}v_1 = \frac{1}{6}(1,-2,1) = \bigl(\tfrac16,-\tfrac13,\tfrac16\bigr),
\text{proj}_{v_2}(u_3) = \frac{\langle u_3,(1,1,1)\rangle}{\langle(1,1,1),(1,1,1)\rangle}(1,1,1) = \frac{1}{3}(1,1,1) = \bigl(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13\bigr).
Então
v_3 = u_3 - \text{proj}_{v_1}(u_3) - \text{proj}_{v_2}(u_3) = (0,0,1) - \bigl(\tfrac16,-\tfrac13,\tfrac16\bigr) - \bigl(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13\bigr) = \bigl(-\tfrac12,0,\tfrac12\bigr).
Multiplicamos por 2 para limpar frações e obtemos v_3=(-1,0,1).

Passo 5

Portanto, uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 é
v_1=(1,-2,1), \quad v_2=(1,1,1), \quad v_3=(-1,0,1).

Passo 6

Por fim, normalizamos cada v_i para ter comprimento 1:
\|v_1\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}, \quad \|v_2\|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}, \quad \|v_3\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}.
Assim, a base ortonormal é
e_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1), \quad e_2=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), \quad e_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1).

Resposta

A base ortogonal é
(1,-2,1),\;(1,1,1),\;(-1,0,1),
e a base ortonormal correspondente é
\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1),\; \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\; \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1).

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