Achar a derivada direcional da função f(x, y)=x^{3}-2 x^{2} y+x y^{2}+1 no ponto P=(1,2) na direção que vai deste ao ponto Q=(4,6).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^{3}-2x^{2}y+x y^{2}+1
no ponto P=(1,2) na direção de P para Q=(4,6). Sabemos que a derivada direcional é dada por
D_{\mathbf u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u,
onde \nabla f(P) é o gradiente em P e \mathbf u é o vetor unitário na direção de PQ.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f. As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-4xy+y^{2},
\frac{\partial f}{\partial y}=-2x^{2}+2xy.
Em P=(1,2) isso dá
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=3\cdot1^{2}-4\cdot1\cdot2+2^{2}=3-8+4=-1,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=-2\cdot1^{2}+2\cdot1\cdot2=-2+4=2.
Logo
\nabla f(1,2)=(-1,\,2).

Passo 3

Agora encontramos o vetor de direção de P para Q:
\overrightarrow{PQ}=(4-1,\;6-2)=(3,4).
O comprimento é
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,
logo o vetor unitário é
\mathbf u=\Bigl(\frac{3}{5},\,\frac{4}{5}\Bigr).

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf u}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot\mathbf u =(-1)\cdot\frac{3}{5}+2\cdot\frac{4}{5} =\frac{-3+8}{5}=\frac{5}{5}=1.

Resposta

1

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