Ache a derivada direcional da função f(x, y)=2 x^{2}-3 y^{2} no ponto P=(1,0), na direção que forma com o eixo O X um ângulo de 120^{\circ}. Interprete o significado do resultado encontrado.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=2x^{2}-3y^{2}
no ponto P=(1,0) na direção que faz ângulo de 120^\circ com o eixo OX.
Conteúdo: uso do gradiente \nabla f e do vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro escrevemos o vetor unitário \mathbf{u} correspondente ao ângulo de 120^\circ no plano:
\mathbf{u} = (\cos120^\circ,\;\sin120^\circ) = \bigl(-\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).

Passo 3

Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) = (4x,\;-6y).
No ponto P=(1,0) isso fica
\nabla f(1,0) = (4\cdot1,\;-6\cdot0) = (4,0).

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção \mathbf{u} é dado pelo produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(1,0) = \nabla f(1,0)\cdot \mathbf{u} = (4,0)\cdot\bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) = 4\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) + 0\cdot \tfrac{\sqrt3}{2} = -2.

Passo 5

Interpretação: o valor -2 indica que, ao mover-se a partir de P na direção de 120^\circ em relação ao eixo OX, a função f decresce à taxa de 2 unidades de f para cada unidade de comprimento movida nessa direção.

Resposta

A derivada direcional é -2.

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