Achar as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y, z)=(x y)^{z}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z) = (xy)^{z}.
O conteúdo envolve derivadas parciais em função de três variáveis, uso da regra da cadeia e propriedade
da função exponencial com logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos f usando exponencial e logaritmo para facilitar a derivação:
f(x,y,z) = e^{\,z\ln(xy)}.
Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, aplicamos a regra da cadeia na forma e^{g}:
g(x,y,z) = z\ln(xy) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial x} = z\;\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy) = z\;\frac{1}{xy}\,y = \frac{z}{x}.
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\frac{\partial f}{\partial x} = e^{\,g}\,\frac{\partial g}{\partial x} = (xy)^{z}\,\frac{z}{x}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} fazemos análogo:
\frac{\partial g}{\partial y} = z\;\frac{\partial}{\partial y}\ln(xy) = z\;\frac{1}{xy}\,x = \frac{z}{y},
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\frac{\partial f}{\partial y} = (xy)^{z}\,\frac{z}{y}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} derivamos g em relação a z:
\frac{\partial g}{\partial z} = \ln(xy),
então
\frac{\partial f}{\partial z} = e^{\,g}\,\frac{\partial g}{\partial z} = (xy)^{z}\,\ln(xy).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = (xy)^{z}\,\frac{z}{x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = (xy)^{z}\,\frac{z}{y}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = (xy)^{z}\,\ln(xy).

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