Achar as derivadas parciais das funções:
z=\frac{x-y}{x+y}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = \frac{x - y}{x + y}.
O conteúdo necessário é a definição de derivada parcial e a aplicação da regra do quociente, tratando a variável independente como variável e a outra como constante.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, tomamos y como constante e usamos a regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\bigl(\frac{\partial}{\partial x}(x - y)\bigr)\,(x + y) - (x - y)\,\bigl(\frac{\partial}{\partial x}(x + y)\bigr)}{(x + y)^{2}}.
Como \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x - y)=1 e \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x + y)=1, temos
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1\cdot(x + y) - (x - y)\cdot1}{(x + y)^{2}} = \frac{x + y - x + y}{(x + y)^{2}} = \frac{2y}{(x + y)^{2}}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, tomamos x como constante e aplicamos novamente a regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\bigl(\frac{\partial}{\partial y}(x - y)\bigr)\,(x + y) - (x - y)\,\bigl(\frac{\partial}{\partial y}(x + y)\bigr)}{(x + y)^{2}}.
Como \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x - y)=-1 e \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x + y)=1, segue que
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-1\cdot(x + y) - (x - y)\cdot1}{(x + y)^{2}} = \frac{-x - y - x + y}{(x + y)^{2}} = -\frac{2x}{(x + y)^{2}}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2y}{(x + y)^{2}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2x}{(x + y)^{2}}.

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