Achar as derivadas parciais das funções:
z=x^{3}+y^{3}-3 a x y.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
z = x^{3} + y^{3} - 3\,a\,x\,y
e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Vamos usar a regra de derivação para soma e a regra do produto, tratando a variável não diferenciada como constante.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial z}{\partial x}, consideramos y e a como constantes. Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}) = 3\,x^{2} pela regra do poder.
\frac{\partial}{\partial x}(y^{3}) = 0, pois y é constante.
\frac{\partial}{\partial x}(-3\,a\,x\,y) = -3\,a\,y, pois -3\,a\,y é constante vezes x.
Somando, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x} = 3\,x^{2} \;-\; 3\,a\,y.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial z}{\partial y}, consideramos x e a como constantes. Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}) = 0.
\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}) = 3\,y^{2}.
\frac{\partial}{\partial y}(-3\,a\,x\,y) = -3\,a\,x.
Portanto,
\frac{\partial z}{\partial y} = 3\,y^{2} \;-\; 3\,a\,x.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 3\,x^{2} - 3\,a\,y, \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = 3\,y^{2} - 3\,a\,x.

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