Achar as derivadas parciais das funções:
z=\sqrt{x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de z = \sqrt{x^{2} - y^{2}} em relação a x e a y.
O conteúdo aqui é a aplicação da regra da cadeia em funções de várias variáveis, lembrando que o domínio real exige x^{2}-y^{2}>0.

Passo 2

Vamos definir a função interna
u(x,y) = x^{2} - y^{2}
de modo que
z = \sqrt{u} = u^{1/2}.
Pela regra da cadeia, para qualquer variável v\in\{x,y\} vale
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial v} = \frac{1}{2\,u^{1/2}}\;\frac{\partial u}{\partial v}.

Passo 3

Agora calculamos \partial u/\partial x. Como
u = x^{2} - y^{2},
temos
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x.
Substituindo na regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}.

Passo 4

Em seguida calculamos \partial u/\partial y. Como
u = x^{2} - y^{2},
temos
\frac{\partial u}{\partial y} = -2y.
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot (-2y) = -\frac{y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}.

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