Achar as derivadas parciais das funções:
z=\operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = \arcsin\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}}\Bigr).
O conteúdo envolve regra da cadeia para funções compostas: derivada de \arcsin, derivada de raiz quadrada e derivada de quociente. Vamos definir funções auxiliares e aplicar passo a passo.

Passo 2

Definimos
v(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, \quad u(x,y) = \sqrt{v(x,y)}, \quad z = \arcsin\bigl(u(x,y)\bigr).

Passo 3

Derivada de z em relação a u:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{d}{du}\bigl(\arcsin(u)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}.

Passo 4

Derivada de u em relação a v:
\frac{\partial u}{\partial v} = \frac{d}{dv}\bigl(\sqrt{v}\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{v}}.

Passo 5

Derivadas de v=(x^2 - y^2)/(x^2 + y^2) por quociente:
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{(2x)(x^2+y^2) - (x^2 - y^2)(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{4x\,y^2}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{(-2y)(x^2+y^2) - (x^2 - y^2)(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-4y\,x^2}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\, \frac{\partial u}{\partial v}\, \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \,\frac{1}{2\sqrt{v}} \,\frac{4x\,y^2}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\, \frac{\partial u}{\partial v}\, \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \,\frac{1}{2\sqrt{v}} \,\frac{-4y\,x^2}{(x^2+y^2)^2}.
Agora basta substituir u=\sqrt{v} e v=\tfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2\,x\,y^2} {(x^2+y^2)^2\, \sqrt{\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}}\, \sqrt{1 - \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}}},
\frac{\partial z}{\partial y} = -\,\frac{2\,x^2\,y} {(x^2+y^2)^2\, \sqrt{\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}}\, \sqrt{1 - \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}}}.

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