Achar as derivadas parciais das funções:
z=e^{\operatorname{sen} \frac{y}{x}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = e^{\sin\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)}
e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia em funções de várias variáveis e a derivada de uma função quociente y/x.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial z}{\partial x}, definimos
u = \sin\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),
de modo que z = e^{u}. Então, pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora,
\frac{\partial u}{\partial x} = \cos\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr) = \cos\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,\bigl(-\tfrac{y}{x^2}\bigr).
Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\sin(\tfrac{y}{x})}\,\cos\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,\bigl(-\tfrac{y}{x^2}\bigr).

Passo 3

Para calcular \frac{\partial z}{\partial y}, usamos o mesmo u=\sin(y/x). Pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial y} = e^{\sin(\tfrac{y}{x})}\,\cos\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr).
Como \frac{\partial}{\partial y}(y/x)=1/x, obtemos
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{\sin(\tfrac{y}{x})}\,\cos\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,\tfrac{1}{x}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x^2}\,e^{\sin(\tfrac{y}{x})}\,\cos\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x}\,e^{\sin(\tfrac{y}{x})}\,\cos\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).

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