Achar as derivadas parciais das funções:
z=x^{y}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de z=x^y. O conteúdo aqui é derivação de função em que tanto a base quanto o expoente dependem de variáveis. Para simplificar, vamos usar a reescrita
x^y = e^{y\ln x}
e depois aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Defina u(x,y)=y\ln x, de modo que z=e^u. Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} usamos
\frac{\partial z}{\partial x} = e^u \,\frac{\partial u}{\partial x}.
Como
\frac{\partial u}{\partial x} = y\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln x) = \frac{y}{x},
segue
\frac{\partial z}{\partial x} = e^u \,\frac{y}{x} = x^y\,\frac{y}{x}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} aplicamos novamente a regra da cadeia em z=e^u:
\frac{\partial z}{\partial y} = e^u \,\frac{\partial u}{\partial y}.
Como
\frac{\partial u}{\partial y} = \ln x,
temos
\frac{\partial z}{\partial y} = e^u \,\ln x = x^y\,\ln x.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = x^y\,\frac{y}{x} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = x^y\,\ln x

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