Achar a direção do plano 2 x-5 y+4 z-1=0. Calcular uma base ortonormal da direção.

Passo 1

O enunciado pede a “direção” do plano
2x - 5y + 4z - 1 = 0
em \mathbb R^3 e uma base ortonormal dessa direção. O conteúdo é geometria analítica: a direção do plano é o subespaço de vetores ortogonais ao vetor normal, e para obter a base ortonormal aplicaremos o processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

O vetor normal ao plano é
n = (2,\,-5,\,4).
Logo, a direção do plano é o subespaço
\{v\in\mathbb R^3 \mid n\cdot v = 0\}
ou seja, todos os v=(x,y,z) que satisfazem
2x - 5y + 4z = 0.

Passo 3

Para encontrar uma base desse subespaço, escolhemos dois vetores linearly independentes que satisfazem 2x - 5y + 4z=0. Por exemplo:
  1. Se y=2 e z=0, então 2x = 5\cdot 2, ou seja x=5, e tomamos
v_1 = (5,\,2,\,0).
  1. Se y=0 e z=1, então 2x = -4, ou seja x=-2, e tomamos
v_2 = (-2,\,0,\,1).

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt a v_1 e v_2. Primeiro normalizamos v_1:
\|v_1\| = \sqrt{5^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{29}, \quad e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = \frac{1}{\sqrt{29}}(5,\,2,\,0).
Em seguida, projetamos v_2 sobre e_1 e subtraímos:
v_2\cdot e_1 = \frac{-2\cdot 5 + 0\cdot 2 + 1\cdot 0}{\sqrt{29}} = -\frac{10}{\sqrt{29}},
u_2 = v_2 - (v_2\cdot e_1)\,e_1 = (-2,0,1) + \frac{10}{\sqrt{29}}\;\frac{1}{\sqrt{29}}(5,2,0) = \frac{1}{29}(-8,\,20,\,29).
Finalmente normalizamos u_2:
\|u_2\| = \frac{1}{29}\sqrt{(-8)^2 + 20^2 + 29^2} = \frac{\sqrt{1305}}{29} = \frac{3\sqrt{145}}{29},
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{(-8,\,20,\,29)/29}{(3\sqrt{145})/29} = \frac{1}{3\sqrt{145}}(-8,\,20,\,29).

Resposta

Uma base ortonormal da direção do plano é
e_1 = \frac{1}{\sqrt{29}}(5,\,2,\,0), \quad e_2 = \frac{1}{3\sqrt{145}}(-8,\,20,\,29).

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