Achar a direção do plano
. Calcular uma base ortonormal da direção.
Passo 1
O enunciado pede a “direção” do plano
em
e uma base ortonormal dessa direção. O conteúdo é geometria analítica: a direção do plano é o subespaço de vetores ortogonais ao vetor normal, e para obter a base ortonormal aplicaremos o processo de Gram–Schmidt.
Passo 2
O vetor normal ao plano é
Logo, a direção do plano é o subespaço
ou seja, todos os
que satisfazem
Passo 3
Para encontrar uma base desse subespaço, escolhemos dois vetores linearly independentes que satisfazem
. Por exemplo:
- Se
e , então , ou seja , e tomamos
- Se
e , então , ou seja , e tomamos
Passo 4
Aplicamos Gram–Schmidt a
e
. Primeiro normalizamos
:
Em seguida, projetamos
sobre
e subtraímos:
Finalmente normalizamos
:
Resposta
Uma base ortonormal da direção do plano é