Determinar o vetor normal ao plano dado pelos pontos não colineares A, B e C , nos seguintes casos:
\mathrm{A}=(1,1,1), \mathrm{B}=(2,0,-3), \mathrm{C}=(0,-3,-1)

Passo 1

O enunciado pede um vetor normal ao plano que passa pelos pontos não colineares
\mathrm{A}=(1,1,1), \mathrm{B}=(2,0,-3) e \mathrm{C}=(0,-3,-1).
Para isso vamos usar:
1. Construir dois vetores no plano, por exemplo \vec{AB} e \vec{AC}.
2. Calcular o produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC}, que é um vetor perpendicular ao plano.

Passo 2

Primeiro calculamos
\vec{AB} = \mathrm{B}-\mathrm{A} = (2-1,\;0-1,\;-3-1) = (1,-1,-4),
\vec{AC} = \mathrm{C}-\mathrm{A} = (0-1,\;-3-1,\;-1-1) = (-1,-4,-2).

Passo 3

A seguir usamos a definição do produto vetorial em termos de determinante:
\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -1 & -4 \\\\ -1 & -4 & -2 \end{vmatrix}.

Passo 4

Desenvolvendo o determinante por cofactores, temos
\vec{AB}\times\vec{AC} = \mathbf{i}\bigl((-1)(-2)-(-4)(-4)\bigr) - \mathbf{j}\bigl(1\cdot(-2)-(-4)\cdot(-1)\bigr) + \mathbf{k}\bigl(1\cdot(-4)-(-1)\cdot(-1)\bigr).
Calculando cada termo:
(-1)(-2)-(-4)(-4)=2-16=-14,\quad 1\cdot(-2)-(-4)(-1)=-2-4=-6,\quad 1\cdot(-4)-(-1)(-1)=-4-1=-5.
Portanto
\vec{AB}\times\vec{AC} = (-14)\,\mathbf{i} -(-6)\,\mathbf{j} +(-5)\,\mathbf{k} = (-14,\,6,\,-5).

Passo 5

Concluímos que \vec{n}=(-14,6,-5) é um vetor normal ao plano definido por A, B e C.
Qualquer múltiplo escalar de \vec{n} também é normal ao mesmo plano.

Resposta

Um vetor normal ao plano é \;(-14,\,6,\,-5).

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