1. Dar as equações paramétricas do plano determinado pelas retas paralclas.
r: \quad \frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=z \quad \text { e } \quad \text { s: } \quad \frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{2}=z+1

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas do plano que contém duas retas paralelas r e s. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: sabemos que duas retas paralelas determinam um plano, e que basta um vetor diretor comum às retas e um vetor que ligue um ponto de uma reta a um ponto da outra para descrever esse plano.

Passo 2

Vamos primeiro escrever cada reta em forma paramétrica. Para r temos
\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=z=t
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x=2+3t,\quad y=1+2t,\quad z=t.
Um vetor diretor de r é
\mathbf{v}=(3,2,1).
Para s temos
\frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{2}=z+1=u,
isto é
x=3+3u,\quad y=1+2u,\quad z=u-1.
O vetor diretor de s é o mesmo
\mathbf{v}=(3,2,1).

Passo 3

Escolhemos um ponto de r, por exemplo P_0=(2,1,0) (tomando t=0), e um ponto de s, por exemplo Q_0=(3,1,-1) (tomando u=0). O vetor que liga P_0 a Q_0 é
\mathbf{w}=Q_0-P_0=(3-2,\;1-1,\;-1-0)=(1,0,-1).
Agora temos dois vetores não colineares no plano: \mathbf{v}=(3,2,1) e \mathbf{w}=(1,0,-1).

Passo 4

O plano pode ser descrito em forma paramétrica a partir de P_0 e dos vetores \mathbf{v} e \mathbf{w}. Sejam (u,v) os parâmetros do plano, então
\bigl(x,y,z\bigr) = (2,1,0)+u\,(3,2,1)+v\,(1,0,-1).
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos
x=2+3u+v,\quad y=1+2u,\quad z=0+u-v.

Resposta

x=2+3u+v,\quad y=1+2u,\quad z=u-v.

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