Achar a distância mais curta do ponto P=(1,2,3) à reta x=-\frac{y}{3}=\frac{z}{2}.
Passo 1
O enunciado pede: achar a distância mais curta do ponto \,P=(1,2,3)\, à reta dada por \,x=-\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{2}\,.
Informações relevantes que o enunciado dá:
O ponto é \,P=(1,2,3)\,.
A reta está escrita na forma simétrica \,x=-\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{2}\,.
Passo 2
Transformar a forma simétrica da reta em forma paramétrica para extrair um ponto da reta e seu vetor diretor.
Explicando passo a passo: quando temos uma igualdade do tipo \,x=-\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{2}\, podemos introduzir um parâmetro \,t tal que todas as partes sejam iguais a \,t. Ou seja, assumir
x=t,\qquad -\dfrac{y}{3}=t,\qquad \dfrac{z}{2}=t.
Agora resolver cada uma para escrever as coordenadas em função de \,t:
Da primeira: \,x=t\,.
Da segunda: \,-\dfrac{y}{3}=t\Rightarrow y=-3t.
Da terceira: \,\dfrac{z}{2}=t\Rightarrow z=2t.
Portanto a forma paramétrica da reta é
\big(x,y,z\big) = \big(t,\,-3t,\,2t\big).
Isto mostra que a reta passa pela origem quando \,t=0, logo um ponto na reta é \,A=(0,0,0)\,, e o vetor diretor da reta é
\vec{v}=(1,-3,2).
Passo 3
Escolher a fórmula para calcular a distância ponto–reta e explicar o porquê.
Fórmula escolhida: a distância (menor) de um ponto \,P a uma reta que passa por A com vetor diretor \vec{v} é dada por
Entendimento intuitivo (rápido): \overrightarrow{AP}\times\vec{v} tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AP} e \vec{v}. Dividindo essa área pela base \|\vec{v}\| obtemos a altura do paralelogramo, que é exatamente a distância perpendicular do ponto à reta.
Aplicando ao nosso caso: tomamos A=(0,0,0), \vec{v}=(1,-3,2) e calculamos \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{A P}=P-A=(1,2,3).
Passo 4
Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AP}\times\vec{v} passo a passo.