Achar a distância mais curta do ponto P=(1,2,3) à reta x=-\frac{y}{3}=\frac{z}{2}.

Passo 1

O enunciado pede: achar a distância mais curta do ponto \,P=(1,2,3)\, à reta dada por \,x=-\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{2}\,.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O ponto é \,P=(1,2,3)\,.
  • A reta está escrita na forma simétrica \,x=-\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{2}\,.

Passo 2

Transformar a forma simétrica da reta em forma paramétrica para extrair um ponto da reta e seu vetor diretor.
Explicando passo a passo: quando temos uma igualdade do tipo \,x=-\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{2}\, podemos introduzir um parâmetro \,t tal que todas as partes sejam iguais a \,t. Ou seja, assumir
x=t,\qquad -\dfrac{y}{3}=t,\qquad \dfrac{z}{2}=t.
Agora resolver cada uma para escrever as coordenadas em função de \,t:
Da primeira: \,x=t\,.
Da segunda: \,-\dfrac{y}{3}=t\Rightarrow y=-3t.
Da terceira: \,\dfrac{z}{2}=t\Rightarrow z=2t.
Portanto a forma paramétrica da reta é
\big(x,y,z\big) = \big(t,\,-3t,\,2t\big).
Isto mostra que a reta passa pela origem quando \,t=0, logo um ponto na reta é \,A=(0,0,0)\,, e o vetor diretor da reta é
\vec{v}=(1,-3,2).

Passo 3

Escolher a fórmula para calcular a distância ponto–reta e explicar o porquê.
Fórmula escolhida: a distância (menor) de um ponto \,P a uma reta que passa por A com vetor diretor \vec{v} é dada por
\text{dist}=\dfrac{\big\|\overrightarrow{AP}\times \vec{v}\big\|}{\|\vec{v}\|}.
Entendimento intuitivo (rápido): \overrightarrow{AP}\times\vec{v} tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AP} e \vec{v}. Dividindo essa área pela base \|\vec{v}\| obtemos a altura do paralelogramo, que é exatamente a distância perpendicular do ponto à reta.
Aplicando ao nosso caso: tomamos A=(0,0,0), \vec{v}=(1,-3,2) e calculamos \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{A P}=P-A=(1,2,3).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AP}\times\vec{v} passo a passo.
Escrever o determinante para o produto vetorial:
\overrightarrow{AP}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo por co-fatores:
  • Componente em \mathbf{i}:
\mathbf{i}\,(2\cdot 2 - 3\cdot(-3))=\mathbf{i}\,(4+9)=13\,\mathbf{i}.
  • Componente em \mathbf{j} (atenção ao sinal negativo ao desenvolver):
-\mathbf{j}\,(1\cdot 2 - 3\cdot 1)=-\mathbf{j}\,(2-3)=-\mathbf{j}\,(-1)=1\,\mathbf{j}.
  • Componente em \mathbf{k}:
\mathbf{k}\,(1\cdot(-3)-2\cdot 1)=\mathbf{k}\,(-3-2)=\mathbf{k}\,(-5)=-5\,\mathbf{k}.
Logo
\overrightarrow{AP}\times\vec{v}=(13,\,1,\,-5).

Passo 5

Calcular as normas necessárias e a distância.
Norma do produto vetorial (magnitude do vetor (13,1,-5)):
\big\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\big\|=\sqrt{13^{2}+1^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{169+1+25}=\sqrt{195}.
Norma do vetor diretor \vec{v}=(1,-3,2):
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}.
Aplicando a fórmula da Passo 3:
\text{dist}=\dfrac{\sqrt{195}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\dfrac{195}{14}}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\dfrac{195}{14}}

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