Calcule a área da parte da superfície esférica
que se encontra dentro do paraboloide
.
Passo 1
O enunciado dá as superfícies:
e
A tarefa é calcular a área da parte da superfície esférica
que se encontra “dentro” do paraboloide
.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar: o centro da esfera está na origem e o raio da esfera é . A região procurada será limitada pela curva de interseção entre a esfera e o paraboloide.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar: o centro da esfera está na origem e o raio da esfera é
Passo 2
Encontrar a curva de interseção: para pontos de interseção temos simultaneamente
e
Faço a substituição
(isto é, uso a projeção no plano
), então
e a equação da esfera fica
Defino
. A equação torna-se
Resolvo essa quadrática:
. Como
seleciono
. Portanto
e
Conclusão: a interseção é um círculo no plano
com raio
. A parte da esfera que está dentro do paraboloide é a “tampa” da esfera acima desse círculo (isto é, a região com
na esfera).
Passo 3
Escolho coordenadas esféricas para parametrizar a esfera e calcular a área de forma direta. Para uma esfera de raio
centrada na origem usamos a parametrização
onde
é o ângulo azimutal e
é o ângulo polar medido a partir do polo norte (
no eixo
). Aqui o raio é
Importante: a área de uma superfície esférica por essa parametrização tem elemento de área
Uma breve explicação desse elemento:
é o comprimento de arco na direção azimutal para um círculo de latitude e
é o comprimento na direção polar; o produto dá a área de um pequeno retângulo aproximado sobre a esfera, com fator
vindo da geometria esférica.
Passo 4
Determino o limite superior em
que corresponde à curva de interseção. Na interseção temos
e na esfera
. Logo
Portanto o ângulo polar de corte é
. A região desejada na esfera é o conjunto de pontos com
e
.
Passo 5
Agora monto a integral da área usando o elemento
:
Faço a integral em
primeiro:
Logo
Substituo
e
:
Passo 6
Faço uma simplificação algébrica para uma forma bonita:
Passo 7
Verificação alternativa (útil para prova rápida): usar a fórmula da área de um calote esférico (spherical cap). Para uma esfera de raio
e calote de altura
a área é
Aqui a altura do calote, medida a partir do topo (
) até o plano de corte
, é
Logo
o que coincide com o resultado obtido antes — bom sinal!