Calcule a área da parte da superfície esférica x 2+y 2+z 2=2 que se encontra dentro do paraboloide z=x 2+y 2.

Passo 1

O enunciado dá as superfícies:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2
e
z=x^{2}+y^{2}.
A tarefa é calcular a área da parte da superfície esférica \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\; que se encontra “dentro” do paraboloide \;z=x^{2}+y^{2}.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar: o centro da esfera está na origem e o raio da esfera é \sqrt{2}. A região procurada será limitada pela curva de interseção entre a esfera e o paraboloide.

Passo 2

Encontrar a curva de interseção: para pontos de interseção temos simultaneamente
z=x^{2}+y^{2}
e
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2.
Faço a substituição r^{2}=x^{2}+y^{2} (isto é, uso a projeção no plano xy), então z=r^{2} e a equação da esfera fica
r^{2}+z^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad r^{2}+(r^{2})^{2}=2.
Defino u=r^{2}. A equação torna-se
u+u^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad u^{2}+u-2=0.
Resolvo essa quadrática: (u+2)(u-1)=0. Como u=r^{2}\ge 0 seleciono u=1. Portanto
r^{2}=1\quad\Rightarrow\quad r=1
e
z=r^{2}=1.
Conclusão: a interseção é um círculo no plano z=1 com raio 1. A parte da esfera que está dentro do paraboloide é a “tampa” da esfera acima desse círculo (isto é, a região com z\ge 1 na esfera).

Passo 3

Escolho coordenadas esféricas para parametrizar a esfera e calcular a área de forma direta. Para uma esfera de raio R centrada na origem usamos a parametrização
x=R\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=R\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=R\cos\varphi,
onde 0\le\theta<2\pi é o ângulo azimutal e 0\le\varphi\le\pi é o ângulo polar medido a partir do polo norte ( \varphi=0 no eixo +z). Aqui o raio é
R=\sqrt{2}.
Importante: a área de uma superfície esférica por essa parametrização tem elemento de área
\mathrm{d}S=R^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.
Uma breve explicação desse elemento: R\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta é o comprimento de arco na direção azimutal para um círculo de latitude e R\,\mathrm{d}\varphi é o comprimento na direção polar; o produto dá a área de um pequeno retângulo aproximado sobre a esfera, com fator \sin\varphi vindo da geometria esférica.

Passo 4

Determino o limite superior em \varphi que corresponde à curva de interseção. Na interseção temos z=1 e na esfera z=R\cos\varphi. Logo
R\cos\phi_{0}=1 \quad\Rightarrow\quad \cos\phi_{0}=\frac{1}{R}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto o ângulo polar de corte é \phi_{0}=\operatorname{arccos}\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\tfrac{\pi}{4}. A região desejada na esfera é o conjunto de pontos com 0\le\varphi\le\phi_{0} e 0\le\theta<2\pi.

Passo 5

Agora monto a integral da área usando o elemento \mathrm{d}S:
\text{Área}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\phi_{0}} R^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.Á
Faço a integral em \varphi primeiro:
\int_{0}^{\phi_{0}} \sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 1-\cos\phi_{0}.
Logo
\text{Área}=2\pi R^{2}\bigl(1-\cos\phi_{0}\bigr).Á
Substituo R^{2}=2 e \cos\phi_{0}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}:
\text{Área}=2\pi\cdot 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=4\pi\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).Á

Passo 6

Faço uma simplificação algébrica para uma forma bonita:
4\pi\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=4\pi-\frac{4\pi}{\sqrt{2}}=4\pi-2\sqrt{2}\,\pi=2\pi\bigl(2-\sqrt{2}\bigr).

Passo 7

Verificação alternativa (útil para prova rápida): usar a fórmula da área de um calote esférico (spherical cap). Para uma esfera de raio R e calote de altura h a área é
\text{Área}=2\pi R h.Á
Aqui a altura do calote, medida a partir do topo ( z=R) até o plano de corte z=1, é
h=R-1=\sqrt{2}-1.
Logo
\text{Área}=2\pi R h =2\pi\sqrt{2}\,(\sqrt{2}-1)=2\pi(2-\sqrt{2}),Á
o que coincide com o resultado obtido antes — bom sinal!

Resposta

2\pi\bigl(2-\sqrt{2}\bigr)

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