Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada.
\sigma(u, v)=(1, u, v), 0 \leqslant u \leqslant 1,0 \leqslant v \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\sigma(u,v)=(1,u,v),
com o domínio do parâmetro sendo 0\le u\le 1 e 0\le v\le 1. A tarefa é desenhar a imagem da superfície parametrizada, ou seja, o conjunto de pontos \sigma(u,v) quando (u,v) percorre o quadrado do plano dos parâmetros.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{mapa: }\sigma:\;[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}^3,\qquad \sigma(u,v)=(1,u,v),\\\ &\text{domínio: }\{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\;0\le v\le 1\}. \end{aligned}í

Passo 2

Interpretação direta da fórmula: para todo (u,v) temos coordenadas cartesianas x=1, y=u e z=v. Portanto, todos os pontos da imagem têm x fixo igual a 1. Posso descrever a imagem como o conjunto
\{(1,y,z)\mid 0\le y\le 1,\;0\le z\le 1\}.
Isso já diz que a imagem é um quadrado no espaço, contido no plano dado por x=1.

Passo 3

Para entender a orientação e a posição do quadrado, calculo os vetores tangentes (derivadas parciais):
\sigma_u(u,v)=\frac{\partial\sigma}{\partial u}=(0,1,0), \qquad \sigma_v(u,v)=\frac{\partial\sigma}{\partial v}=(0,0,1).
Esses vetores são constantes: um aponta na direção positiva do eixo y e o outro na direção positiva do eixo z. O produto vetorial dá a normal à superfície:
\sigma_u\times\sigma_v=(0,1,0)\times(0,0,1)=(1,0,0).
Ou seja, a normal é paralela ao eixo x e aponta no sentido positivo de x, confirmando que a superfície está no plano perpendicular ao eixo x com x constante. Note que x=1 é exatamente esse plano deslocado uma unidade ao longo do eixo x.

Passo 4

Identifico os vértices e arestas da imagem (pegando-os diretamente da parametrização):
  • Vértices (casos extremos de u e v):
(1,0,0),\quad (1,1,0),\quad (1,0,1),\quad (1,1,1).
  • Arestas (curvas no domínio que viram segmentos na imagem):
\begin{aligned} &u=0,\; v\in[0,1]\mapsto (1,0,v)\quad\text{(segmento entre \((1,0,0)\) e \((1,0,1)\))},\\ &u=1,\; v\in[0,1]\mapsto (1,1,v)\quad\text{(segmento entre \((1,1,0)\) e \((1,1,1)\))},\\ &v=0,\; u\in[0,1]\mapsto (1,u,0)\quad\text{(segmento entre \((1,0,0)\) e \((1,1,0)\))},\\ &v=1,\; u\in[0,1]\mapsto (1,u,1)\quad\text{(segmento entre \((1,0,1)\) e \((1,1,1)\))}. \end{aligned}

Passo 5

Como desenhar passo a passo (descrição prática, para você reproduzir à mão na prova):
  1. Desenhe os três eixos coordenados: escolha x horizontal apontando para a direita, y saindo para cima da página ou para frente, e z vertical para cima — o que importa é que seja consistente. Eu prefiro: x para a direita, y para a frente (saindo da página) e z para cima.
  2. Marque o plano x=1: é um plano paralelo ao plano yz e deslocado uma unidade positiva ao longo do eixo x. No desenho 3D ele ficará como uma folha vertical paralela ao eixo que liga y e z, uma unidade à direita do plano x=0.
  3. Sobre esse plano, desenhe um quadrado cujas coordenadas em (y,z) vão de 0 a 1. Coloque os vértices conforme listado: (1,0,0) (canto inferior-esquerdo do quadrado no plano), (1,1,0), (1,0,1) e (1,1,1).
  4. Indique as setas no sentido crescente de u (eixo y) e de v (eixo z) para mostrar a orientação dada pela parametrização.

Passo 6

Verificação adicional útil (área da superfície): o módulo do produto vetorial dá elemento de área por unidade de parâmetro:
\|\sigma_u\times\sigma_v\|=\|(1,0,0)\|=1.
Integrando sobre o domínio 0\le u,v\le 1 obtém-se área total
\int_0^1\int_0^1 1\,du\,dv = 1.
Isso confirma que o quadrado tem área 1 (lado de comprimento 1), coerente com os limites de u e v.

Passo 7

Resumo intuitivo e incentivo: portanto a imagem é um quadrado de lado 1 no plano x=1, alinhado com os eixos y e z. Na prova, ao ver uma parametrização com a primeira coordenada constante, já desconfie de um plano vertical e siga o mesmo raciocínio: identificar coordenadas constantes, calcular \sigma_u,\sigma_v para entender direção e orientação, e listar vértices pelas combinações extremas de parâmetros — isso te dá um desenho rápido e correto!

Resposta

\{(1,y,z)\mid 0\le y\le 1,\;0\le z\le 1\} (quadrado de lado 1 contido no plano x=1, com vértices (1,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)).

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