Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada.
.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
com o domínio do parâmetro sendo
e
. A tarefa é desenhar a imagem da superfície parametrizada, ou seja, o conjunto de pontos
quando
percorre o quadrado do plano dos parâmetros.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Interpretação direta da fórmula: para todo
temos coordenadas cartesianas
,
e
. Portanto, todos os pontos da imagem têm
fixo igual a
. Posso descrever a imagem como o conjunto
Isso já diz que a imagem é um quadrado no espaço, contido no plano dado por
.
Passo 3
Para entender a orientação e a posição do quadrado, calculo os vetores tangentes (derivadas parciais):
Esses vetores são constantes: um aponta na direção positiva do eixo
e o outro na direção positiva do eixo
. O produto vetorial dá a normal à superfície:
Ou seja, a normal é paralela ao eixo
e aponta no sentido positivo de
, confirmando que a superfície está no plano perpendicular ao eixo
com
constante. Note que
é exatamente esse plano deslocado uma unidade ao longo do eixo
.
Passo 4
Identifico os vértices e arestas da imagem (pegando-os diretamente da parametrização):
- Vértices (casos extremos de
e ):
- Arestas (curvas no domínio que viram segmentos na imagem):
Passo 5
Como desenhar passo a passo (descrição prática, para você reproduzir à mão na prova):
- Desenhe os três eixos coordenados: escolha
horizontal apontando para a direita, saindo para cima da página ou para frente, e vertical para cima — o que importa é que seja consistente. Eu prefiro: para a direita, para a frente (saindo da página) e para cima. - Marque o plano
: é um plano paralelo ao plano e deslocado uma unidade positiva ao longo do eixo . No desenho 3D ele ficará como uma folha vertical paralela ao eixo que liga e , uma unidade à direita do plano . - Sobre esse plano, desenhe um quadrado cujas coordenadas em
vão de a . Coloque os vértices conforme listado: (canto inferior-esquerdo do quadrado no plano), , e . - Indique as setas no sentido crescente de
(eixo ) e de (eixo ) para mostrar a orientação dada pela parametrização.
Passo 6
Verificação adicional útil (área da superfície): o módulo do produto vetorial dá elemento de área por unidade de parâmetro:
Integrando sobre o domínio
obtém-se área total
Isso confirma que o quadrado tem área
(lado de comprimento
), coerente com os limites de
e
.
Passo 7
Resumo intuitivo e incentivo: portanto a imagem é um quadrado de lado
no plano
, alinhado com os eixos
e
. Na prova, ao ver uma parametrização com a primeira coordenada constante, já desconfie de um plano vertical e siga o mesmo raciocínio: identificar coordenadas constantes, calcular
para entender direção e orientação, e listar vértices pelas combinações extremas de parâmetros — isso te dá um desenho rápido e correto!