Achar a distância entre as retas r_{1} e r_{2}, nos casos:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda+1, \\\ y=\lambda+2, \\\ z=-2 \lambda-2\end{array} \quad\right. e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda, \\\ y=1+3 \lambda, \\\ z=-4 \lambda\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas
r_{1}:\begin{cases} x=\lambda_1+1,\\\ y=\lambda_1+2,\\\ z=-2\lambda_1-2 \end{cases} \quad\text{e}\quad r_{2}:\begin{cases} x=\lambda_2,\\\ y=1+3\lambda_2,\\\ z=-4\lambda_2 \end{cases}
Estamos em Geometria Analítica no espaço. Se as retas se intersectam, a distância é zero; caso contrário, seria preciso usar a fórmula
d=\frac{\bigl\lvert(P_2-P_1)\cdot(u_1\times u_2)\bigr\rvert}{\lVert u_1\times u_2\rVert}\,.

Passo 2

Para ver se elas se cruzam, igualamos as coordenadas de r_1 e r_2:
\begin{cases} \lambda_1+1=\lambda_2,\\\ \lambda_1+2=1+3\lambda_2,\\\\ -2\lambda_1-2=-4\lambda_2. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem
\lambda_2=\lambda_1+1.
Substituindo na segunda:
\lambda_1+2 = 1 + 3(\lambda_1+1) \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1+2 = 1 + 3\lambda_1 +3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 = -1.
Então \lambda_2 = -1 +1 = 0.

Passo 4

Verificamos a terceira equação com esses valores:
-2(-1)-2 = 2-2=0, \quad -4\cdot0=0,
logo está satisfeita. Portanto as retas se intersectam no ponto
(x,y,z)=(0,1,0).

Passo 5

Como as retas têm um ponto em comum, a distância entre elas é
d = 0.

Resposta

A distância entre r_1 e r_2 é 0.

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