Achar a distância entre as retas r_{1}:(x, y, z)=(2,3,1)+t(-1,1,-2), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(0,-1,0)+t(1,-3,2), t \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado pede a distância entre duas retas em \mathbb{R}^3, dadas em forma paramétrica. O conteúdo usado será o produto vetorial para obter um vetor perpendicular aos dois diretores e o produto misto (triplo) para projetar o vetor que une dois pontos das retas nesse vetor perpendicular.
Passo 2
Identificamos para cada reta um ponto e o vetor diretor. Para \displaystyle r_{1}:(x,y,z)=(2,3,1)+t(-1,1,-2) tomamos o ponto \displaystyle A=(2,3,1) e o vetor diretor \displaystyle \mathbf{v}_{1}=(-1,1,-2).
Para \displaystyle r_{2}:(x,y,z)=(0,-1,0)+s(1,-3,2) tomamos o ponto \displaystyle B=(0,-1,0) e o vetor diretor \displaystyle \mathbf{v}_{2}=(1,-3,2).
Passo 3
Calculamos o produto vetorial \mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2} para obter um vetor perpendicular às duas direções: