Achar a distância entre as retas
r_{1}:(x, y, z)=(2,3,1)+t(-1,1,-2), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(0,-1,0)+t(1,-3,2), t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas em \mathbb{R}^3, dadas em forma paramétrica. O conteúdo usado será o produto vetorial para obter um vetor perpendicular aos dois diretores e o produto misto (triplo) para projetar o vetor que une dois pontos das retas nesse vetor perpendicular.

Passo 2

Identificamos para cada reta um ponto e o vetor diretor. Para \displaystyle r_{1}:(x,y,z)=(2,3,1)+t(-1,1,-2) tomamos o ponto \displaystyle A=(2,3,1) e o vetor diretor \displaystyle \mathbf{v}_{1}=(-1,1,-2).
Para \displaystyle r_{2}:(x,y,z)=(0,-1,0)+s(1,-3,2) tomamos o ponto \displaystyle B=(0,-1,0) e o vetor diretor \displaystyle \mathbf{v}_{2}=(1,-3,2).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2} para obter um vetor perpendicular às duas direções:
\mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2} =(-1,1,-2)\times(1,-3,2) =(-4,0,2).

Passo 4

Calculamos a norma de \mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2}:
\bigl\|\mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2}\bigr\| =\sqrt{(-4)^{2}+0^{2}+2^{2}} =\sqrt{16+4} =\sqrt{20} =2\sqrt{5}.

Passo 5

Formamos o vetor que vai de A a B:
\overrightarrow{AB} =B-A =(0,-1,0)-(2,3,1) =(-2,-4,-1).

Passo 6

Calculamos o valor absoluto do produto escalar de \overrightarrow{AB} com \mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2}:
\bigl|\overrightarrow{AB}\cdot(\mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2})\bigr| =\bigl|(-2,-4,-1)\cdot(-4,0,2)\bigr| =\bigl|8+0-2\bigr| =6.

Passo 7

Usamos a fórmula da distância entre retas geratrizes:
d =\frac{\bigl|\overrightarrow{AB}\cdot(\mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2})\bigr|}{\|\mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2}\|} =\frac{6}{2\sqrt{5}} =\frac{3}{\sqrt{5}} =\frac{3\sqrt{5}}{5}.

Resposta

A distância entre as retas é \displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}} (ou \displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}).

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