Em cada item, verifique se as retas dadas são concorrentes. Em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção destas retas.
(a) r_{1}:(x, y, z)=(0,-3,5)+t(1,2,-1), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(0,7,1)+t(1,-3,1), t \in \mathbb{R}
(b) r_{1}:(x, y, z)=(3,-1,2)+t(2,-3,4), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(-1,4,-8)+t(1,-1,3), t \in \mathbb{R}
(c) r_{1}:(x, y, z)=(0,-3,-10)+t(1,2,-1), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(0,4,-1)+t(1,3,-2), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se duas retas em \mathbb{R}^3, dadas em forma paramétrica, são concorrentes (isto é, se se intersectam). Para isso, escrevemos as coordenadas de cada reta em função de seus parâmetros t e s e igualamos as componentes x, y e z, obtendo um sistema de três equações em duas incógnitas. Se esse sistema tiver solução consistente, as retas se intersectam no ponto determinado pelos valores de t e s; caso contrário, não há interseção.

Passo 2

(a) Temos \displaystyle r_{1}:(x,y,z)=(0,-3,5)+t(1,2,-1) \displaystyle r_{2}:(x,y,z)=(0,7,1)+s(1,-3,1)\). Igualamos coordenadas: \[\begin{cases} 0 + t = 0 + s,\\\\ -3 + 2t = 7 - 3s,\\\\ 5 - t = 1 + s. \end{cases}
Da primeira equação vem (t=s]. Substituindo na segunda:
-3 + 2t = 7 - 3t \;\Longrightarrow\; 5t = 10 \;\Longrightarrow\; t=2,\;s=2.
Na terceira:
5 - 2 = 1 + 2 \;\Longrightarrow\; 3 = 3,
que confirma a solução. O ponto de interseção é
(x,y,z) = (0,-3,5) + 2\,(1,2,-1) = (2,1,3).

Passo 3

(b) Temos \displaystyle r_{1}:(x,y,z)=(3,-1,2)+t(2,-3,4) \displaystyle r_{2}:(x,y,z)=(-1,4,-8)+s(1,-1,3)\). Igualando: \[\begin{cases} 3 + 2t = -1 + s,\\\\ -1 - 3t = 4 - s,\\\\ 2 + 4t = -8 + 3s. \end{cases}
Da primeira obtemos (s = 4 + 2t]. Substituindo na segunda:
-1 - 3t = 4 - (4 + 2t) \;\Longrightarrow\; -1 - 3t = -2t \;\Longrightarrow\; -t = 1 \;\Longrightarrow\; t = -1,\;s = 2.
Na terceira:
2 + 4(-1) = -8 + 3\cdot2 \;\Longrightarrow\; -2 = -2,
consistente. O ponto de interseção é
(3,-1,2) + (-1)\,(2,-3,4) = (1,2,-2).

Passo 4

(c) Temos \displaystyle r_{1}:(x,y,z)=(0,-3,-10)+t(1,2,-1) \displaystyle r_{2}:(x,y,z)=(0,4,-1)+s(1,3,-2)\). Igualando: \[\begin{cases} t = s,\\\\ -3 + 2t = 4 + 3s,\\\\ -10 - t = -1 - 2s. \end{cases}
Da primeira (s=t]. Na segunda:
-3 + 2t = 4 + 3t \;\Longrightarrow\; -t = 7 \;\Longrightarrow\; t = -7,\;s = -7.
Na terceira:
-10 -(-7) = -1 -2(-7) \;\Longrightarrow\; -3 = 13,
que é absurdo. Logo não há solução e as retas não se intersectam.

Resposta

(a) Sim. Ponto de interseção (2,1,3).
(b) Sim. Ponto de interseção (1,2,-2).
(c) Não são concorrentes.

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