Achar a distância entre as retas
r_{1}:(x, y, z)=(0,0,3)+t(1,2,0), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(2,-1,2)+t(1,-1,3), t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas
r_{1}:\,(x,y,z)=(0,0,3)+t\,(1,2,0), \quad r_{2}:\,(x,y,z)=(2,-1,2)+s\,(1,-1,3).
O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar a fórmula da distância entre retas gregas (não paralelas):
\mathrm{dist}(r_{1},r_{2}) =\frac{\bigl|(P_{2}-P_{1})\cdot(d_{1}\times d_{2})\bigr|} {\|\,d_{1}\times d_{2}\|},
onde P_{1} e P_{2} são pontos em r_{1} e r_{2}, e d_{1},d_{2} são os vetores diretores.

Passo 2

Identificamos
P_{1}=(0,0,3),\quad d_{1}=(1,2,0), \quad P_{2}=(2,-1,2),\quad d_{2}=(1,-1,3).
A fórmula exige o produto vetorial d_{1}\times d_{2} e depois o produto escalar com P_{2}-P_{1}.

Passo 3

Calculemos o produto vetorial
d_{1}\times d_{2} =(1,2,0)\times(1,-1,3) =(6,\,-3,\,-3).
O módulo desse vetor é
\|\,d_{1}\times d_{2}\| =\sqrt{6^{2}+(-3)^{2}+(-3)^{2}} =\sqrt{36+9+9} =\sqrt{54} =3\sqrt{6}.

Passo 4

Formemos o vetor entre os pontos:
P_{2}-P_{1}=(2,-1,2)-(0,0,3)=(2,-1,-1).
O produto escalar com d_{1}\times d_{2} vale
(P_{2}-P_{1})\cdot(d_{1}\times d_{2}) =(2,-1,-1)\cdot(6,-3,-3) =2\cdot6+(-1)\cdot(-3)+(-1)\cdot(-3) =12+3+3 =18.

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância:
\mathrm{dist}(r_{1},r_{2}) =\frac{|18|}{3\sqrt{6}} =\frac{18}{3\sqrt{6}} =\frac{6}{\sqrt{6}} =\sqrt{6}.

Resposta

\sqrt{6}

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