Achar a equação do plano a superfície: 2 x z^{2}-3 x y-4 x=7 no ponto (1,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede: achar a equação do plano tangente à superfície dada pela equação
2 x z^{2}-3 x y-4 x=7
no ponto (1,-1,2).
Informações dadas:
  • A superfície é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \;2 x z^{2}-3 x y-4 x=7.
  • O ponto onde queremos o plano tangente é \;(x_0,y_0,z_0)=(1,-1,2).
O que precisa ser encontrado:
  • A equação do plano tangente à superfície naquele ponto (uma equação linear em x,y,z).

Passo 2

Ideia básica (em linguagem simples): uma superfície definida implicitamente por uma equação \;F(x,y,z)=0 tem, em cada ponto regular, um plano tangente cuja normal (vetor perpendicular ao plano) é o gradiente de F naquele ponto, isto é \nabla F(x_0,y_0,z_0).
Explicando por que (sem jargão pesado): se \mathbf{v} é um vetor tangente à superfície em (x_0,y_0,z_0), então ao andar um pouquinho na direção de \mathbf{v} não mudamos, a primeira ordem, o valor de F (porque permanecemos sobre a superfície). Isso significa que a derivada direcional de F na direção \mathbf{v} é zero. A derivada direcional é o produto escalar entre \nabla F e \mathbf{v}. Assim \nabla F é perpendicular a todo vetor tangente, logo é normal ao plano tangente.
Portanto o método é:
  1. Reescrever a superfície como F(x,y,z)=0.
  2. Calcular \nabla F = \left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}\right).
  3. Avaliar \nabla F em (1,-1,2) para obter o vetor normal \mathbf{n}.
  4. Usar a equação do plano com normal \mathbf{n}:
\mathbf{n}\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.

Passo 3

Definimos a função F correspondente à superfície. Colocamos todos os termos no lado esquerdo subtraindo 7, assim:
F(x,y,z)=2 x z^{2}-3 x y-4 x-7.
Aqui:
  • x,y,z são as coordenadas do ponto genérico.
  • F(x,y,z)=0 é a condição da superfície.
Agora, a definição prática das derivadas parciais:
  • \dfrac{\partial F}{\partial x} é a derivada de F em relação a x mantendo y e z fixos.
  • \dfrac{\partial F}{\partial y} é a derivada de F em relação a y mantendo x e z fixos.
  • \dfrac{\partial F}{\partial z} é a derivada de F em relação a z mantendo x e y fixos.
A fórmula do gradiente é
\nabla F(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}\right).

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais passo a passo:
Para \dfrac{\partial F}{\partial x}: trate y,z como constantes. Derive termo a termo:
  • A derivada de 2 x z^{2} em relação a x é 2 z^{2} (porque z^{2} é constante e a derivada de x é 1).
  • A derivada de -3 x y em relação a x é -3 y (pois y é constante).
  • A derivada de -4 x em relação a x é -4.
  • A derivada de -7 é 0.
Logo,
\dfrac{\partial F}{\partial x}=2 z^{2}-3 y-4.
Para \dfrac{\partial F}{\partial y}: trate x,z como constantes. Só o termo -3 x y depende de y, cuja derivada é -3 x. Assim
\dfrac{\partial F}{\partial y}=-3 x.
Para \dfrac{\partial F}{\partial z}: trate x,y como constantes. O único termo que depende de z é 2 x z^{2}. A derivada de z^{2} é 2 z, multiplicando pelo coeficiente 2x 4 x z. Portanto
\dfrac{\partial F}{\partial z}=4 x z.

Passo 5

Agora avaliamos essas parciais no ponto dado (x_0,y_0,z_0)=(1,-1,2).
Calcule \dfrac{\partial F}{\partial x}(1,-1,2):
\dfrac{\partial F}{\partial x}(1,-1,2)=2\cdot (2)^{2}-3\cdot(-1)-4.
Compute passo a passo: (2)^{2}=4, então 2\cdot4=8. Depois -3\cdot(-1)=+3. Somando e subtraindo:
8+3-4=7.
Calcule \dfrac{\partial F}{\partial y}(1,-1,2):
\dfrac{\partial F}{\partial y}(1,-1,2)=-3\cdot 1 = -3.
Calcule \dfrac{\partial F}{\partial z}(1,-1,2):
\dfrac{\partial F}{\partial z}(1,-1,2)=4\cdot 1 \cdot 2 = 8.
Assim o gradiente no ponto é
\nabla F(1,-1,2)=(7,-3,8).
Este é o vetor normal \mathbf{n} ao plano tangente naquele ponto.

Passo 6

Equação do plano com normal \mathbf{n}=(7,-3,8) passando por (x_0,y_0,z_0)=(1,-1,2) é
(7,-3,8)\cdot (x-1,y+1,z-2)=0.
Isso significa
7(x-1)-3(y+1)+8(z-2)=0.
Agora expandimos e simplificamos passo a passo:
Expansão:
7x-7 -3y-3 +8z-16=0.
Agrupando termos constantes:
7x -3y +8z - (7+3+16)=0,
7x -3y +8z -26=0.
Finalmente escrevemos na forma mais comum:
7x -3y +8z = 26.
Podemos checar rápido se o ponto pertence ao plano: substituindo (1,-1,2) obtemos 7\cdot1 -3\cdot(-1) +8\cdot2 =7+3+16=26, OK.

Resposta

7x-3y+8z=26

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