Achar a equação do plano a superfície:
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: achar a equação do plano tangente à superfície dada pela equação
no ponto
.
Informações dadas:
- A superfície é o conjunto de pontos
que satisfazem . - O ponto onde queremos o plano tangente é
.
O que precisa ser encontrado:
- A equação do plano tangente à superfície naquele ponto (uma equação linear em
).
Passo 2
Ideia básica (em linguagem simples): uma superfície definida implicitamente por uma equação
tem, em cada ponto regular, um plano tangente cuja normal (vetor perpendicular ao plano) é o gradiente de
naquele ponto, isto é
.
Explicando por que (sem jargão pesado): se
é um vetor tangente à superfície em
, então ao andar um pouquinho na direção de
não mudamos, a primeira ordem, o valor de
(porque permanecemos sobre a superfície). Isso significa que a derivada direcional de
na direção
é zero. A derivada direcional é o produto escalar entre
e
. Assim
é perpendicular a todo vetor tangente, logo é normal ao plano tangente.
Portanto o método é:
- Reescrever a superfície como
. - Calcular
. - Avaliar
em para obter o vetor normal . - Usar a equação do plano com normal
:
Passo 3
Definimos a função
correspondente à superfície. Colocamos todos os termos no lado esquerdo subtraindo
, assim:
Aqui:
-
são as coordenadas do ponto genérico. -
é a condição da superfície.
Agora, a definição prática das derivadas parciais:
-
é a derivada de em relação a mantendo e fixos. -
é a derivada de em relação a mantendo e fixos. -
é a derivada de em relação a mantendo e fixos.
A fórmula do gradiente é
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais passo a passo:
Para
: trate
como constantes. Derive termo a termo:
- A derivada de
em relação a é (porque é constante e a derivada de é ). - A derivada de
em relação a é (pois é constante). - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é .
Logo,
Para
: trate
como constantes. Só o termo
depende de
, cuja derivada é
. Assim
Para
: trate
como constantes. O único termo que depende de
é
. A derivada de
é
, multiplicando pelo coeficiente
dá
. Portanto
Passo 5
Agora avaliamos essas parciais no ponto dado
.
Calcule
:
Compute passo a passo:
, então
. Depois
. Somando e subtraindo:
Calcule
:
Calcule
:
Assim o gradiente no ponto é
Este é o vetor normal
ao plano tangente naquele ponto.
Passo 6
Equação do plano com normal
passando por
é
Isso significa
Agora expandimos e simplificamos passo a passo:
Expansão:
Agrupando termos constantes:
Finalmente escrevemos na forma mais comum:
Podemos checar rápido se o ponto pertence ao plano: substituindo
obtemos
, OK.