Achar as equações do plano tangente e da normal à superfície 4 z=x^{2}-y^{2} no ponto (3,1,2).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto (3,1,2) da superfície 4z = x^{2} - y^{2}:
A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
A equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Informações dadas:
4z = x^{2}-y^{2}
e o ponto sobre a superfície (x_{0},y_{0},z_{0})=(3,1,2).
Passo 2
Vamos primeiro escrever a superfície de forma explícita em z para usar a fórmula do plano tangente em função de x e y. Isolando z temos
z = f(x,y) = \frac{x^{2}-y^{2}}{4}.
Explicando o que é a derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \frac{\partial f}{\partial x} ou f_{x}, é a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo. Analogamente, f_{y} é a taxa de variação quando apenas y varia. Essas derivadas medem a inclinação da superfície nas direções x e y e são usadas para construir o plano tangente.
Dividindo por 2 obtemos exatamente a mesma equação encontrada antes:
3(x-3)-(y-1)-2(z-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x - y - 2z -4 = 0.
Isso confirma a consistência entre as duas abordagens (explícita e implícita).
Passo 5
A reta normal à superfície no ponto é a reta que passa por [(3,1,2)) e tem direção dada pelo vetor normal. Podemos usar o vetor \nabla F(3,1,2)=(6,-2,-4) ou simplificá-lo dividindo por 2 para obter o mesmo rumo mais simples (3,-1,-2). Para escrever a reta, usamos a parametrização ponto + parâmetro × direção.