Achar as equações do plano tangente e da normal à superfície 4 z=x^{2}-y^{2} no ponto (3,1,2).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto (3,1,2) da superfície 4z = x^{2} - y^{2}:
  1. A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
  2. A equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Informações dadas:
4z = x^{2}-y^{2}
e o ponto sobre a superfície (x_{0},y_{0},z_{0})=(3,1,2).

Passo 2

Vamos primeiro escrever a superfície de forma explícita em z para usar a fórmula do plano tangente em função de x e y. Isolando z temos
z = f(x,y) = \frac{x^{2}-y^{2}}{4}.
Explicando o que é a derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \frac{\partial f}{\partial x} ou f_{x}, é a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo. Analogamente, f_{y} é a taxa de variação quando apenas y varia. Essas derivadas medem a inclinação da superfície nas direções x e y e são usadas para construir o plano tangente.
Calculemos as derivadas parciais:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{4}\right)=\frac{2x}{4}=\frac{x}{2},
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{4}\right)=\frac{-2y}{4}=-\frac{y}{2}.
Agora avaliamos em (x_{0},y_{0})=(3,1):
f_{x}(3,1)=\frac{3}{2},\qquad f_{y}(3,1)=-\frac{1}{2}.

Passo 3

Fórmula do plano tangente para uma superfície escrita como z=f(x,y): o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é dado por
z - z_{0} = f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Substituindo os valores que encontramos:
z - 2 = \frac{3}{2}(x-3) - \frac{1}{2}(y-1).
Vamos simplificar essa equação para uma forma linear padrão. Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar frações:
2(z-2) = 3(x-3) - (y-1).
Expandindo:
2z - 4 = 3x - 9 - y + 1 = 3x - y - 8.
Reorganizando para a forma implícita Ax+By+Cz+D=0:
3x - y - 2z -4 = 0.
Também podemos escrever isolando z:
z = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y - 2.

Passo 4

Agora apresento outra visão (útil para entender a normal): escrevemos a superfície de forma implícita
F(x,y,z)=x^{2}-y^{2}-4z.
O gradiente de F, \nabla F=(F_{x},F_{y},F_{z}), aponta na direção normal à superfície. Cálculo do gradiente:
F_{x}=2x,\qquad F_{y}=-2y,\qquad F_{z}=-4.
No ponto (3,1,2) obtemos
\nabla F(3,1,2) = (6,-2,-4).
Esse vetor é normal ao plano tangente. A equação do plano usando o gradiente é
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0,
ou seja
6(x-3)-2(y-1)-4(z-2)=0.
Dividindo por 2 obtemos exatamente a mesma equação encontrada antes:
3(x-3)-(y-1)-2(z-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x - y - 2z -4 = 0.
Isso confirma a consistência entre as duas abordagens (explícita e implícita).

Passo 5

A reta normal à superfície no ponto é a reta que passa por [(3,1,2)) e tem direção dada pelo vetor normal. Podemos usar o vetor \nabla F(3,1,2)=(6,-2,-4) ou simplificá-lo dividindo por 2 para obter o mesmo rumo mais simples (3,-1,-2). Para escrever a reta, usamos a parametrização ponto + parâmetro × direção.
Forma paramétrica:
\begin{cases} x(t)=3+3t,\\[4pt] y(t)=1 - t,\\[4pt] z(t)=2 - 2t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.
Para obter a forma simétrica, isolamos (t] em cada coord:
\frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{-2}.]

Resposta

\text{Plano tangente: } 3x - y - 2z - 4 = 0.\n
\text{Reta normal (paramétrica): } x=3+3t,\; y=1-t,\; z=2-2t,\\ t\in\mathbb{R}é \n
\text{Reta normal (simétrica): } \dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}{-2}.é

Exercícios relacionados