Considerando o campo escalar, \varphi(x, y, z)=3 x^{2} y-y^{3} z^{2}, achar \nabla \varphi ou ( \operatorname{grad} \varphi ) no ponto:
( 2,-1,1 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de um campo escalar no ponto dado. As informações fornecidas são:
\varphi(x,y,z)=3x^{2}y-y^{3}z^{2} e o ponto onde devemos avaliar é (2,-1,1).
Então a tarefa é encontrar \nabla\varphi e depois calcular \nabla\varphi(2,-1,1).

Passo 2

O que é \nabla\varphi?
Por definição, o gradiente de um campo escalar \varphi(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de \varphi em relação a cada coordenada:
\nabla\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\;\frac{\partial\varphi}{\partial y},\;\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right).
Aqui \frac{\partial\varphi}{\partial x} significa: derivar \varphi em relação a x, tratando y e z como constantes; análogamente para as outras componentes. Vou aplicar essa definição passo a passo.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial x}.
Trate y e z como constantes. A função é \varphi(x,y,z)=3x^{2}y-y^{3}z^{2}. A única parcela que depende de x é 3x^{2}y. Usando a regra do poder ( \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}) e a constante multiplicativa:
\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}y\big)=3y\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=3y\cdot 2x=6xy.
A outra parcela -y^{3}z^{2} é constante em relação a x, então sua derivada é zero. Portanto
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=6xy.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial y}.
Agora trate x e z como constantes. Derive cada parcela em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y\big)=3x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)=3x^{2}.
E
\frac{\partial}{\partial y}\big(-y^{3}z^{2}\big)=-z^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y^{3})=-z^{2}\cdot 3y^{2}=-3y^{2}z^{2}.
Somando as duas contribuições:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=3x^{2}-3y^{2}z^{2}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial z}.
Trate x e y como constantes. A única parcela que depende de z é -y^{3}z^{2}. Aplicando a regra do poder:
\frac{\partial}{\partial z}\big(-y^{3}z^{2}\big)=-y^{3}\cdot\frac{d}{dz}(z^{2})=-y^{3}\cdot 2z=-2y^{3}z.
A parcela 3x^{2}y é constante em relação a z, então sua derivada é zero. Portanto
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=-2y^{3}z.

Passo 6

Juntando as componentes, o gradiente geral é
\nabla\varphi(x,y,z)=\big(6xy,\;3x^{2}-3y^{2}z^{2},\;-2y^{3}z\big).
Agora avaliamos em (2,-1,1). Calculamos componente a componente:
6xy\Big|_{(2,-1,1)}=6\cdot 2\cdot(-1)=-12,
3x^{2}-3y^{2}z^{2}\Big|_{(2,-1,1)}=3\cdot 2^{2}-3\cdot(-1)^{2}\cdot 1^{2}=3\cdot 4-3\cdot 1=12-3=9,
-2y^{3}z\Big|_{(2,-1,1)}=-2\cdot(-1)^{3}\cdot 1=-2\cdot(-1)=2.
Portanto o gradiente no ponto pedido é o vetor (-12,\,9,\,2).

Resposta

\nabla\varphi(2,-1,1)=(-12,\,9,\,2)

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