Considerando o campo escalar, \varphi(x, y, z)=3 x^{2} y-y^{3} z^{2}, achar \nabla \varphi ou ( \operatorname{grad} \varphi ) no ponto:
( 2,-1,1 ).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente de um campo escalar no ponto dado. As informações fornecidas são: \varphi(x,y,z)=3x^{2}y-y^{3}z^{2} e o ponto onde devemos avaliar é (2,-1,1).
Então a tarefa é encontrar \nabla\varphi e depois calcular \nabla\varphi(2,-1,1).
Passo 2
O que é \nabla\varphi?
Por definição, o gradiente de um campo escalar \varphi(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de \varphi em relação a cada coordenada:
Aqui \frac{\partial\varphi}{\partial x} significa: derivar \varphi em relação a x, tratando y e z como constantes; análogamente para as outras componentes. Vou aplicar essa definição passo a passo.
Passo 3
Calcular \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial x}.
Trate y e z como constantes. A função é \varphi(x,y,z)=3x^{2}y-y^{3}z^{2}. A única parcela que depende de x é 3x^{2}y. Usando a regra do poder (\dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}) e a constante multiplicativa:
Calcular \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial z}.
Trate x e y como constantes. A única parcela que depende de z é -y^{3}z^{2}. Aplicando a regra do poder: