Achar a equação da reta que passa pelo ponto ( 0,-4 ) e é tangente ao gráfico de f(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que (i) passa por (0,-4) e (ii) é tangente ao gráfico de f(x)=\sqrt{x}. Vamos usar o conceito de derivada para obter o coeficiente angular da reta tangente e depois impor que ela passe pelo ponto dado.

Passo 2

Para x>0, a derivada de f é
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Em um ponto de abscissa a>0, o coeficiente angular da reta tangente é m=f'(a)=1/(2\sqrt{a}), e a equação ponto–reta é
y - \sqrt{a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}\,(x - a).

Passo 3

Impondo que essa reta passe por (0,-4), substituímos x=0, y=-4:
-4 - \sqrt{a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}\,(0 - a) = -\frac{a}{2\sqrt{a}} = -\frac{\sqrt{a}}{2}.
Isso leva a
-4 - \sqrt{a} = -\tfrac{\sqrt{a}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{a} = -8,
que não tem solução real. Logo, não há reta tangente em nenhum a>0 que passe por (0,-4).

Passo 4

Restou o caso a=0. Note que
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
tende a +\infty quando x\to0^+, o que significa que o gráfico de y=\sqrt{x} tem reta tangente vertical em x=0. Essa reta é x=0, e de fato contém todos os pontos com abscissa zero, inclusive (0,-4).

Resposta

A reta procurada é
x = 0.

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