Determinar f^{\prime}(p) nos seguintes casos
f(x)=\frac{x^{2}-3}{x^{2}+3} ; p=a

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-3}{x^{2}+3}
e pede a derivada no ponto p=a. Vamos usar a regra do quociente para derivar.

Passo 2

Seja u(x)=x^{2}-3 e v(x)=x^{2}+3. Então
u'(x)=2x, \quad v'(x)=2x.
Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{2x\,(x^{2}+3)-(x^{2}-3)\,2x}{(x^{2}+3)^{2}}.

Passo 3

No numerador temos
2x\,(x^{2}+3)-2x\,(x^{2}-3) =2x x^{2}+6x-2x x^{2}+6x =12x.
Logo a derivada simplificada é
f'(x)=\frac{12x}{(x^{2}+3)^{2}}.

Passo 4

Para obter f'(p) no ponto p=a, basta substituir x=a:
f'(a)=\frac{12\,a}{\bigl(a^{2}+3\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(a)=\frac{12a}{(a^{2}+3)^{2}}.

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